1990　北海道大学　前期MathJax

【１】　行列${\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}3& -\sqrt{3}\\ -\sqrt{3}& 5\end{array}\right)$で表される平面の$1$次変換を$f$とする．

(1)　$f$によって自分自身に移される直線をすべて求めよ．

(2)　円$x^2+y^2=1$を$1$次変換$f$によって移した後さらに原点を中心として左まわりに$60\mathrm{°}$だけ回転して得られる曲線の方程式を求め，その概形をかけ．

【２】　放物線$y^2=ax$を$C\text{，}$直線$py=x$を$L$とする．ただし，$a$と$p$はともに正の数とする．

(1)　$C$と$L$の交点の座標を求めよ．

(2)　$C$と$L$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積$V$を求めよ．

(3)　$a$と$p$が$a^3={\displaystyle \frac{1}{p^4}}(p^3-p^2-p+2)$を満たして動くとき，$V$の最小値を求めよ．

【３】　平面上で次の不等式を同時に満たす点$\mathrm{P}(x,y)$の集合を$D$とする．

$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}(2x+y-8)(x+y-5)\leqq 0$

(1)　$D$を図示せよ．

(2)　点$\mathrm{P}(x,y)$が$D$上を動くとき，$xy$の最大値を求めよ．

【４】　平面上に$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,0)\text{，}\mathrm{B}(2,2)\text{，}C(4,1)$が与えられている．

(1)　点$\mathrm{P}(x,y)$が$|3\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=3$を満たしているとき，$x\text{，}y$の満たす方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が(1)の条件を満たして動くとき，$▵\mathrm{PAC}$の面積を最大にする$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【２】(1)　任意の正の整数$n$に対して，不等式

$2^{n+1}>n(n+1)+1$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　各正の整数$n$に対し，不等式$2^m\leqq nm+1$を満たす正の整数$m$の個数を$a_n$とするとき，$a_n\leqq n$が成り立つことを証明せよ．

【３】　関数

$f(x)=a{x}^2+{\displaystyle \frac{a^2}{1+x^2}}-2a$

について，次の問に答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)　$f(x)$がすべての実数$x$に対し正となるための$a$の範囲を求めよ．

(2)　$a$が(1)の範囲にあるとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=0\text{，}x=1$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$S(a)-3a$の最小値を求めよ．

【４】　第$1$象限にある曲線$C\text{：}y=f(x)$が次の条件(ⅰ)と(ⅱ)を満たすとき，$f(x)$を求めよ．

(ⅰ)　$C$上の任意の点$\mathrm{P}$における$C$の接線は$x$軸，$y$軸と交わり，その交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とすると，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{QR}$を$1:2$に内分する．

(ⅱ)　原点から$C$上の点への距離の最小値は$1$である．

【５】　円周を$6$等分する点を時計まわりの順に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とし，点$\mathrm{A}$を出発点として小石をおく．サイコロをふり，偶数の目が出たときは$2\text{，}$奇数の目が出たときは$1$だけ小石を時計まわりに分点上進めるゲームを続け，最初に点$\mathrm{A}$にちょうど戻ったときを上がりとする．

(1)　ちょうど$1$周して上がる確率を求めよ．

(2)　ちょうど$2$周して上がる確率を求めよ．

【５】　数列$\{a_n\}$は，

$a<a_1<1\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{n{a_n}^2+2n+1}{a_n+3n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとする．

(1)　$0<a_n<1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であることを示せ．

(2)　$1-a_{n+1}<{\displaystyle \frac{2}{3}}(1-a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であることを示し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1-a_{n+1}}{1-a_n}}$を求めよ．