1990　東北大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面の第$1$象限において，曲線$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸，$y$軸によって囲まれる図形を，直線$y=x$のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

【２】　行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$（$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数）

について，次の問に答えよ．

(1)　$A\ne kE$（$k$は実数）で，実数$x\text{，}y$が等式

$A^2-xA+yE=O$

を満たすとき，$x\text{，}y$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$で表せ．ここで$E$は単位行列，$O$は零行列を表すものとする．

(2)　$A$が$A\ne O\text{，}{A}^3+A=O$を満たせば，$A$は逆行列をもち，$A^{-1}=-A$となることを示せ．

【３】　実数$a\text{，}b\text{（}(a,b)\ne (0,0)\text{）}$に対して，$T=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$で定められる行列を考える．

(1)　$\overrightarrow{v}$を平面上の$\overrightarrow{0}$でないベクトルとするとき，ベクトルの大きさの比${\displaystyle \frac{|T\overrightarrow{v}|}{\left|\overrightarrow{v}\right|}}$を$a\text{，}b$を使って表せ．

(2)　行列の集合$\{T^n|n=0,1,2,\cdots \}$が有限集合となるとき，$T$は回転の行列であることを示せ．ただし，$T^0$は単位行列$E$を表すものとする．

(3)　$\{T^n|n=0,1,2,\cdots \}$が$2$個の要素からなるように$a\text{，}b$を定めよ．

【４】　正の数から成る数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$の一般項$a_n$と，初項から第$n$項までの和$S_n$の間に，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{4S_k}{a_k+2}}=S_k$

という関係があるものとする．$a_n$と$S_n$を求めよ．

【２】　$xyz$空間における球面

$B$：${(x-3)}^2+{(y-4)}^2+{(z-12)}^2={13}^2$

について考える．

(1)　球面$B$上の点$\mathrm{O}(0,0,0)$を通り，球面$B$に接する平面$H$の方程式を求めよ．

(2)　平面$H$上の点$\mathrm{P}$を，$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の球面が$B$と交わるように動かす．点$\mathrm{T}(9,12,36)$と点$\mathrm{P}$とを結んでできる線分全体がつくる立体（$\mathrm{T}$を頂点とする錐体）を$E$とする．$E$の体積$V$を求めよ．

【３】　$n$を正の整数とし，曲線

$C$：$y=\log {(nx+1)}^{2n}$

を考える．

(1)　$C$の概形をかけ．

(2)　実数$p(p<-{\displaystyle \frac{2}{n}})$をとり，直線$x=p\text{，}$曲線$C\text{，}$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S$を$n$と$p$で表せ．

(3)　負の傾きをもつ$C$の接線で，原点を通るものを$L$とする．(2)の$p$が$L$の接点の$x$座標となるとき，$S$を求めよ．

【４】　サイコロを$5$回投げ，$1$が$5$と$6$より先に出た場合を勝ち，$5$か$6$が$1$より先に出た場合を負けとし，それ以外は引き分けとする．勝つ確率，負ける確率，引き分ける確率を求めよ．

【５】　$f(x)$は$x\geqq 0$で正の値をとる連続関数で，次の関係式

${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dx=x\sqrt{f(x)}$

を満たすものとする．

(1)　$f(0)$を求めよ．

(2)　$g(x)=\sqrt{f(x)}$とおく．$x>0$で$g(x)$の満たす微分方程式を求めよ．

(3)　$f(1)={\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす$f(x)$を求めよ．

【６】　記号$+$と$-$を重複を許し$1$列に並べてできる列のうち，同じ記号は$3$つ以上連続して並ばないものを考える．$+$と$-$という記号を全部で$n$個（$n\geqq 2$）使ってつくられるこのような列のうち，最後が$++$または$--$で終わる列の個数を$a_n$とおき，最後が$+-$または$-+$で終わる列の個数を$b_n$とおく．

(1)　$a_{n+1}$と$b_{n+1}$を$a_n$と$b_n$で表せ．

(2)　$\{a_n+r{b}_n\}$が公比$r$の等比数列となるような$r$の値をすべて求めよ．

(3)　長さが$n$のこのような列の個数$a_n+b_n$を，(2)で求めた$r$の値を使って表せ．

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