1990　東京工業大学　前期MathJax

【１】　$x\text{，}y\text{，}z\text{，}w$を正数とする．任意の正の整数$m\text{，}n$に対して

${(x^{\frac{1}{m}}+y^{\frac{1}{m}})}^n+{(x^{\frac{1}{m}}+w^{\frac{1}{m}})}^n={\{{(x^{\frac{n}{m}}+z^{\frac{n}{m}})}^{\frac{1}{n}}+{(y^{\frac{n}{m}}+w^{\frac{n}{m}})}^{\frac{1}{n}}\}}^n$

が成り立つための必要十分条件を求めよ．

【２】　$x_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$を正数とし，${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{x}_i=k$をみたすとする．このとき不等式

${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{x}_i\log x_i\geqq k\log {\displaystyle \frac{k}{n}}$

を証明せよ．

【３】　$xy$平面において，だ円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{3}}=1$の周上で$y\geqq 0$の部分を$L$とする．また$2$つの円${(x-1)}^2+y^2=1\text{，}{(x+1)}^2+y^2=1$の周上で$y\leqq 0$の部分をそれぞれ$M\text{，}N$とする．このとき$L\text{，}M\text{，}N$上の動点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$に対し線分$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{PR}$の長さの和の最大値を求めよ．

【４】　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で定義された関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{d\theta }{\cos \theta }}+{\displaystyle {\int }_x^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{d\theta }{\sin \theta }}$

の最小値を求めよ．

【５】　$xy$平面上のだ円$3x^2+y^2=1$の外にある点$\mathrm{P}$からこのだ円に$2$本の接線を引く．その接点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とし$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$によって分けられただ円の$2$つの弧のうち$\mathrm{P}$に近い方を$\stackrel{⏜}{\mathrm{QR}}$とする．このとき，次の$2$つの条件

(ⅰ)　$\stackrel{⏜}{\mathrm{QR}}$は点$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},0)$を含む

(ⅱ)　$\angle \mathrm{QPR}\geqq 90\mathrm{°}$

をみたすような$\mathrm{P}$の存在範囲を図示し，その面積を求めよ．