1990　東京工業大学　後期MathJax

【１】　$(x+1)(x-2)$の小数第$1$位を四捨五入したものが$1+5x$と等しくなるような実数$x$を求めよ．

【２】　$n$を$2$以上の整数とする．

(1)　$n-1$次多項式$P_n(x)$と$n$次多項式$Q_n(x)$で全ての実数$\theta$に対して，

$\sin (2n\theta )=n\sin (2\theta )P_n({\sin }^2\theta )\text{，}\cos (2n\theta )=Q_n({\sin }^2\theta )$

をみたすものが存在することを帰納法を用いて示せ．

(2)　$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1$に対して${\alpha }_k={(\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{2n}})}^{-2}$とおくと

$P_n(x)=(1-{\alpha }_{1}x)(1-{\alpha }_{2}x)\cdots (1-{\alpha }_{n-1}x)$

となることを示せ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{\alpha }_k={\displaystyle \frac{2n^2-2}{3}}$を示せ．