1990　一橋大学　後期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$を正の定数とする．$ax+by+cz=1$を満たす実数$x\text{，}y\text{，}z$のうち，$\min \{{\displaystyle \frac{x}{a}},{\displaystyle \frac{y}{b}},{\displaystyle \frac{z}{c}}\}$を最大にするような$x\text{，}y\text{，}z$とその最大値を求めよ．ただし，$\min \{p,q,r\}$は$p\text{，}q\text{，}r$のうちの最小の値を表す．

【２】　$k$は$0$でない整数，$A$は整数を成分とする$2\times 2$行列で

$A^2=2kE\text{，}A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k\\ k^2\end{array}\right)$

が成り立っている．ただし，$E$は単位行列である．$k$と$A$を求めよ．

【３】　$2$つの曲線

$\begin{array}{ll}y=x^3+x^2+ax& \cdots \text{①}\\ x=y^3+y^2+ay& \cdots \text{②}\end{array}$

は原点で同じ直線に接している．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　直線$\text{①}$と$\text{②}$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

【４】　直円すいに半径$1$の球が内接している．

(1)　直円すいの高さを$h\text{，}$底面の半径を$r$とするとき，$r$を$h$で表せ．

(2)　このような直円すいの体積$V$の最小値を求めよ．

【５】　袋の中に白球が$n$個，赤球が$2n$個はいっている．ただし，$n\geqq 1$である．この袋から次の$\text{①}\text{，}\text{②}\text{，}\text{③}$の$3$通りの方法で$3$個の球をとりだすとき，そのうちの$1$個が白球で$2$個が赤球である確率をそれぞれ$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3$とする．

$\text{①}$　$1$個ずつ$3$回球をとりだす．ただし，とりだした球はそのつど袋の中にもどす．

$\text{②}$　$1$回目に$1$個の球をとりだし，それを袋の中にもどしてから，$2$回目に$2$個の球をとりだす．

$\text{③}$　一度に$3$個の球をとりだす．

(1)　$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3$を求めよ．

(2)　$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3$の大小をくらべよ．