1990　新潟大学　前期MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$および直線$l:3x+10y=5$について，次の各問いに答えよ．

(1)　行列$A^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求め，$A^n$で表される$1$次変換による$l$の像$l_n$を求めよ．

(2)　原点を中心とする半径$1$の円と$l_n$が共有点をもたないような$n$を求めよ．

【２】　$\mathrm{AD}⫽\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{BC}=3\mathrm{AD}$である台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点，$\mathrm{BC}$を$2:3$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とし，$\mathrm{AF}$と$\mathrm{BD}$との交点を$\mathrm{G}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$と表すとき，次の各問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{E}$は一直線上にあることを示せ．

【３】　等差数列$\{a_n\}$が，$a_1=1\text{，}{a}_1>a_2\text{，}$およびある自然数$p$に対し，${(a_{3p})}^2=4$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　$a_n\geqq 0$であるような最大の$n$を求めよ．

(3)　$b_n=n{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$として得られる数列$\{b_n\}$の初項から第$k$項までの和を$S_k$とおくとき，$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3\text{，}\cdots$の最大値を求めよ．

【４】　関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+1$が，すべての$x$に対して$f(x)+f(-x)=2f(0)$を満たし，極値$-1$をもつとき，次の各問いに答えよ．

(1)　定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=-1$とで囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　等差数列$\{a_n\}$が，$a_1=1\text{，}{a}_{21}=-2$を満たすとき，次の各問いに答えよ．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　$a_n\geqq 0$であるような最大の$n$を求めよ．

(3)　$b_n=n{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$として得られる数列$\{b_n\}$の初項から第$k$項までの和を$S_k$とおくとき，$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3\text{，}\cdots$の最大値を求めよ．

【４】　$4$人で$1$回だけジャンケンをするとき，次の各問いに答えよ．

(1)　勝ち組が$k$人（$k=1\text{，}2\text{，}3$）である確率，および勝負が決まらない確率を求めよ．

(2)　$4$人の中の$1$人$\mathrm{A}$君が勝ち組にはいる確率を求めよ．

(3)　勝ち組にはいった者で$24$点を公平に分け合うものとするとき，$\mathrm{A}$君の期待点数を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}\text{，}\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$が成り立つとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BAD}\text{，}\angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{BCD}$を示せ．

(2)　辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{CB}})$を示せ．

(3)　$\mathrm{MN}\perp \mathrm{AB}\text{，}\mathrm{MN}\perp \mathrm{CD}$を示せ．

【４】　関数$f(x)=x{e}^{-x^2}$について，次の各問いに答えよ．

(1)　$f^{″}(a)=0$となる正の数$a$を求めよ．

(2)　$x<a$のとき，$f(x)<f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$であること，および$x>a$のとき，$f(x)>f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$であることを示せ．

(3)　曲線$C:y=f(x)$の，点$(a,f(a))$における接線を$l$とする．曲線$C\text{，}$直線$l$および$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

【５】　$f(x)$は，$f(0)=1$およびすべての$x\text{（}>0\text{）}$に対して$f(x)>0$を満たす，微分可能な関数とする．

　曲線$C:y=f(x)$上を動く点を$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$の時刻$t\text{（}\geqq 0\text{）}$における位置は$(t,f(t))$であり，点$\mathrm{Q}$の，時刻$0$における位置は$({\displaystyle \frac{1}{3}},0)\text{，}$時刻$0$における速度は${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$時刻$t$における加速度は${\displaystyle \frac{2}{{(t+1)}^4}}$であるとするとき，$t\geqq 0$として，次の各問いに答えよ．

(1)　時刻$t$における$\mathrm{Q}$の位置を求めよ．

(2)　$f(t)$が満たす微分方程式を作り，$f(t)$を求めよ．

【６】　$n$人（$n\geqq 2$）で$1$回だけジャンケンをする．勝者の数を$X$として，次の問いに答えよ．

(1)　$k$を$1\leqq k\leqq n$である整数とするとき，$k{}_{n}C_k=n{}_{n-1}C_{k-1}$を示せ．

(2)　$X=k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$である確率を求めよ．

(3)　$X=0\text{，}$すなわち勝負が決まらない確率を求めよ．

(4)　$X$の期待値を求めよ．