1990　名古屋大学　前期MathJax

【１】　行列$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)$で表される$1$次変換によって，直線$y=px+q$をうつした直線を$l$とする．

(1)　$l$が単位円$C:x^2+y^2=1$と交わるような$p\text{，}q$を座標とする点$(p,q)$の範囲を図示せよ．

(2)　直線$l$が円$C$に接するとき，接点を$p\text{，}q$を用いて表せ．

【２】　$2$つの放物線$y=x^2$と$y=a{x}^2+bx+c$とは$2$点で交わり，交点におけるこれら$2$つの放物線の接線は互いに直交するという．$a\text{，}b\text{，}c$が変化するとき，このような放物線$y=a{x}^2+bx+c$の頂点の全体はどのような集合をつくるかを調べ，その集合を図示せよ．

【３】　$xyz$空間で，$xy$平面上の原点を中心とし半径が$1$の円を$C$とする．$2$点$\mathrm{A}(0,0,1)\text{，}\mathrm{B}(1,0,1)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$を頂点とし円$C$を底面とする円すいを考え，$\mathrm{P}$を$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで動かすとき，このような円すい全体でつくられる立体を$D$とする．

(1)　平面$z=h\text{（}0<h<1\text{）}$でこの立体$D$を切った切り口の面積を求めよ．

(2)　立体$D$の体積を求めよ．

【２】　底辺$\mathrm{BC}$の長さが$2\text{，}$高さが$a$（$a$は定数）の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．頂点$\mathrm{B}$を$xy$平面の半直線$y=x\text{（}x\geqq 0\text{）}$上に，$\mathrm{C}$を半直線$y=-x\text{（}x\geqq 0\text{）}$上に置き，頂点$\mathrm{A}$は直線$\mathrm{BC}$に関して原点$\mathrm{O}$の反対側にくるようにする．三角形$\mathrm{ABC}$を可能な限り動かすとき，$\mathrm{A}$が描く図形を求めよ．

【３】　円周上に，右まわりの順で$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があり，円周に沿ってこれらの点の上を右まわりに進むものとする．$1$つのサイコロを投げて，偶数の目が出ればその数だけ進み，奇数ならば$1$つ進む試行を繰り返す．初め$\mathrm{A}$にいて，$n$回の試行の後で$\mathrm{A}$にいる確率を$p_n\text{，}\mathrm{B}$にいる確率を$q_n\text{，}\mathrm{C}$にいる確率を$r_n$として，次の問いに答えよ．

(1)　$p_n$を$r_{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$で表せ．

(2)　$p_{3n}$を求めよ．

【４】　円$D$は$xy$平面で$x>0$の部分にあり，中心$\mathrm{C}$は$x$軸上にあって，曲線$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$とは点$\mathrm{P}(a,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}})$で接線を共有しているとする．

(1)　この円の$x\geqq a$の部分にある弧と直線$x=a$とで囲まれる図形を，$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を$V(a)$とし，$x$軸と直線$\mathrm{CP}$とのなす角を$\theta (a)(0<\theta (a)<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．$V(a)$を$a$と$\theta (a)$を用いて表せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\theta (a)$を求め，次に$\underset{n\to \infty }{\lim }V(a)$を求めよ．