1990　大阪大学　前期MathJax

【１】　$S$を半径$1$の球面とし，その中心を$\mathrm{O}$とする．頂点$\mathrm{A}$を共有し，大きさの異なる$2$つの正四面体$\mathrm{ABCD}\text{，}\mathrm{APQR}$が次の$2$条件を満たすとする．

(ⅰ)　点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は同一平面上にある．

(ⅱ)　点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は球面$S$上にある．

　このとき，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

【２】　点$(1,0)$を通り，曲線$y=x^4-2x^2+1$に接する直線の方程式をすべて求めよ．

【３】　$a$を$-1<a<1$を満たす定数とし

$f(x)=(x^2-1){(x-a)}^2$

とおく．関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸によって囲まれた図形のうち，$x\leqq a$の範囲にある部分の面積を$S_1(a)\text{，}x\geqq a$の範囲にある部分の面積を$S_2(a)$とする．

(1)　$S_1(a)+S_2(a)$を求めよ．

(2)　次のことを示せ．

$\begin{array}{ccc}-1<a<0& \text{のとき}& S_1(a)<S_2(a)\\ a=0& \text{のとき}& S_1(a)=S_2(a)\\ 0<a<1& \text{のとき}& S_1(a)>S_2(a)\end{array}$

【４】　座標平面において点$(1,0)$を原点のまわりに角$\alpha \text{，}\beta$だけ回転した点をそれぞれ$\mathrm{P}(a,b)\text{，}\mathrm{Q}(c,d)$とする．

$x^{\prime }=x-2a(ax+by)\text{，}{y}^{\prime }=y-2b(ax+by)$

によって点$(x,y)$を点$(x^{\prime },y^{\prime })$に移す$1$次変換を$f$とし

$x^{″}=x-2c(cx+dy)\text{，}{y}^{″}=y-2d(cx+dy)$

によって点$(x,y)$を点$(x^{″},y^{″})$に移す$1$次変換を$g$とする．

　このとき合成変換$g\circ f$は原点のまわりの角$2(\beta -\alpha )$の回転であることを示せ．

【１】(1)　$g(x)$を整式，$h(x)$を$2$次式とし$f(x)=g(h(x))$とおく．このとき，関数$y=f(x)$のグラフは$y$軸または$y$軸に平行なある直線に関して対称であることを示せ．

(2)　$f(x)$は整式で，関数$y=f(x)$のグラフは$y$軸または$y$軸に平行なある直線に関して対称であるとする．このとき，$f(x)$は，ある整式$g(x)$とある$2$次式$h(x)$を用いて$f(x)=g(h(x))$と書けることを示せ．

【２】　無限級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\cos 2nx\cos xdx$

は収束することを示し，その和を求めよ．

【３】　点$(a,0)$を通り，曲線$y=x^4-2x^2+1$に接する直線が$x$軸以外にただ$1$本存在するような$a$の値をすべて求めよ．

【４】　$N\text{，}{n}_1\text{，}{n}_2\text{，}{n}_3$を$0\leqq n_1<n_2<n_3\text{，}{n}_1+n_2+n_3=2N$を満たす定められた整数とする．

　赤玉，白玉$N$個ずつ計$2N$個の玉を$3$つに分けて，袋$1\text{，}$袋$2\text{，}$袋$3$にそれぞれ$n_1\text{，}{n}_2\text{，}{n}_3$個入れてある．このとき袋$i$の中の赤玉の個数を$x_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$とおく．

　いま，これらの$3$つの袋から無作為に$1$つの袋を選び，その袋の中から$1$個の玉を無作為に取り出す．このとき，取り出される玉が赤玉である確率を$P$とする．

(1)　$P$を$n_i\text{，}{x}_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$を用いて表せ．

(2)　$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3$を

$0\leqq x_i\leqq n_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{），}{x}_1+x_2+x_3=N$

の範囲で変化させるとき，$P$を最大にする$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3$を求めよ．またそのときの$P$の値はいくらか．

【５】　$xyz$空間に$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$があり，図のように頂点$\mathrm{O}$が原点に，$\mathrm{E}$が$x$軸の正の部分に，$\mathrm{C}$が$z$軸の正の部分に置かれている．

　いま，この立方体を$x$軸のまわりに回転させるとき

(1)　$xy$平面において，立方体の辺$\mathrm{BC}$が通過する部分を$M$とする．図形$M$を表す方程式を求めよ．

(2)　$xy$平面において，立方体の面$\mathrm{OABC}$が通過する部分を図示せよ．