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1990-10601-0201
1990 神戸大学 後期
文科系
理科系【1】の類題
易□ 並□ 難□
【1】 f は行列
( 11 ab ) ,a ,b は実数
で表される 1 次変換で,ある直線 l を定点 (1, c) に写すものとする.
このとき,次の各問に答えよ.
(1) 直線 l の方程式を求めよ.
(2) a ,b ,c の間に成り立つ関係式を求めよ.
(3) 全平面の f による像を求めよ.
1990-10601-0202
文科系・理科系共通
【2】 xyz 空間内で,方程式
{ x2+ a⁢y2 -a=0 ( a>0 )z =0
で与えられる xy 平面上の曲線を C とする.
b>0 として,定点 B( 0,b,1 ) と曲線 C 上の動点 P を結ぶ直線が zx 平面と交わるとき,その交点を Q とする.動点 P が C 上を動くとき, Q の描く曲線を C′ とする.
(1) 曲線 C′ の方程式を求めよ.
(2) 曲線 C′ が楕円(円も含む),放物線,双曲線になるための条件をそれぞれ求めよ.
1990-10601-0203
【3】 t は正の実数として,
y2= t2+1 t3 ⁢x- t2+1 t2
(1) 直線 y= k⁢x (k >0 ) が C と接するとき, k の値を求めよ.
(2) k は(1)で求められた値とする.直線 y= k⁢x ,x 軸および曲線 C で囲まれた部分を, x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 V⁡ (t ) を求めよ.
(3) t が t> 0 の範囲を動くとき, V⁡(t ) の値のとりうる範囲を求めよ.
1990-10601-0204
理科系
文科系【1】の類題
(4) f による像が自分自身に一致する直線が存在しないための c の条件を求めよ.
1990-10601-0205
【4】 右のような枠がある.
小文字 a ,a ,b ,c を第 1 行の各列に 1 文字ずつ並べ,大文字 A ,A ,B , C を第 2 行の各列に 1 文字ずつ並べる.
右下の例の場合,第 1 列と第 2 列の 2 つの列でアルファベットがそろっているということにする.
(1) 並べ方は全部で何通りあるか.
(2) アルファベットのそろっている列が存在しない並べ方は全部で何通りあるか.
(3) アルファベットのそろっている列がちょうど 1 つである並べ方は全部で何通りあるか.
1990-10601-0206
【5】 a ,b を実数として,
I⁡(a ,b)= ∫ 0π ⁡(a ⁢x+b -cos⁡x )2⁢ dx
とおく.
(1) I⁡(a ,b) を b のみの関数とみるとき, I⁡(a ,b) を最小にする b の値を a を用いて表せ.
(2) a ,b が変化するとき, I⁡(a ,b) の値を最小にする a ,b の値とその最小値を求めよ.