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1990 広島大学 前期

代数幾何・基礎解析

易□ 並□ 難□

【1】 原点 O を中心とする半径 1 の円周上の動点を P( a,b) とする. 3 つのベクトル

e1 = ( 10 ) e 2 =( 0 1 ) p =( a b)

に対して, 1 次変換 f f (e1 ) =e2 f( e2 )= p となるように定める.

(1)  q =( a2 -b2 b ) とするとき, |f (q )| を求めよ.

(2)  f を表す行列を A とするとき,任意の実数 t に対して,行列 B= A+t E が逆行列をもつような点 P の範囲を図示せよ.ただし, E は単位行列である.

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代数幾何・基礎解析

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【2】 平行四辺形 ABCD において, AB =a AD =b BP =x BC 0x 1 とする.

(1)  AP DP をそれぞれ a b x で表せ.

(2)  a b の内積が正のとき, |AP + DP | 2 の最小値を a b を用いて表せ.

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代数幾何・基礎解析

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【3】 正の数からなる数列 {an } n=1 2 に対して

fn (x)= 8x2 -2 an+ 1x +1 an

によって定まる 2 次式の列 {fn (x )} を考える.すべての n に対して,方程式 f n( x)=0 が重解をもつとき,次の(1),(2)に答えよ.

(1)  bn= log2 an とおくとき, bn b n+1 の関係式を求めよ.

(2)  a1= 4 として, an n で表せ.

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代数幾何・基礎解析

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【4】 実数 x が方程式 sin4 x-6 sin2 xcos 2x+ cos4 x=0 を満たすとする.

(1)  sin2 xcos2 x の値を求めよ.

(2)  0x π の範囲で x の値をすべて求めよ.

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代数幾何・基礎解析

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【5】 曲線 y= ax3 a> 0 C とする. C 上の原点以外の点 P0 (x 0,a x03 ) から C P0 を接点としない接線を引き,その接点を P1 とする.次に点 P 1 から C P1 を接点としない接線を引き,その接点を P 2 とする.以下同様にして, C 上に点 P 1 P 2 P n を定める.点 Pn x 座標を x n 線分 P n-1 Pn C で囲まれる部分の面積を Sn n= 1 2 とする.

(1)  x1= -1 2 x0 を示せ.

(2)  S2 S1 で表せ.

(3)  k=1 n Sk a x0 n で表せ.

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代数幾何・基礎解析・微分積分・確率統計

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【1】  2 つの直線 l1 :y=0 l2:y =3 x に関する対称移動を表す 1 次変換の行列をそれぞれ A B とする.

(1) 行列 A B をそれぞれ求めよ.

(2)  (A B)2 =B A を示せ.

(3)  l1 l2 に関する対称移動を n 回( n 3 )繰り返して得られるすべての 1 次変換は, 3 回以下の繰り返しで得られる 1 次変換のいずれかと一致することを, n に関する数学的帰納法によって証明せよ.ただし, (B A) 2=A B が成り立つことを用いてよい.

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代数幾何・基礎解析・微分積分・確率統計

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【2】  1 辺の長さ d の正四面体 OABC において, ABC の重心を G ABC を含む平面を α とし, OA =a OB =b OC =c とおく.

(1) ベクトル OG a b c で表し, OG AB および AC にそれぞれ垂直であることを示せ.

(2) 平面 α 上の点 P が等式

| PO | 2+ | PA |2 + |PB | 2+ | PC |2 =3 d2

を満たすならば, P G を中心とする半径 13 d の円周上にあることを示せ.

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代数幾何・基礎解析・微分積分・確率統計

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【3】 曲線 y= 1 2 x2- 1 x> 0 C とする. C 上に異なる点列 A 1 A2 An があり,点 An から x 軸に下ろした垂線と x 軸との交点を P n( xn, 0) n =1 2 とする.各自然数 n に対し,点 A n+1 における C の法線(接線に垂直な直線)が Pn を通るとする.ただし, x1 >2 とする.

(1)  xn x n+1 の関係式を求めよ.

(2)  xn x1 n で表し, limn xn を求めよ.

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代数幾何・基礎解析・微分積分・確率統計

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【4】 任意の実数 x h に対して,次の不等式(1),(2)が成り立つことを示せ.

(1)  |sin (x+ h)-sin x| |h|

(2)  |cos (x+h )-cos x+h sinx | h2

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代数幾何・基礎解析・微分積分・確率統計

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【5】 曲線 y= xe -x C とする. C C 上の点 P( t,t e-t ) 0t 1 における接線,および 2 直線 x= 0 x=1 で囲まれる部分の面積を S (t) とする.ただし, e は自然対数の底である.

(1) 曲線 C の概形をかき, S(t ) を求めよ.

(2)  S(x ) を最小にする t の値を求めよ.

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代数幾何・基礎解析・微分積分・確率統計

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【6】 箱の中に, 1 から 2 n までの数をそれぞれ 1 つずつ書いた 2 n 枚のカードがあり,この中から無作為にカードを取り出す. 1q 2n- 1 である自然数 q に対して,確率変数 X を次のように定める. 1 枚のカードを取り出したとき,その数が q+ 1 以上であれば,その数を X とし, q 以下ならばそのカードをもとに戻してもう一度 1 枚のカードを取り出し,その数を X とする.

(1)  X の確率分布を求めよ.

(2)  X の平均値(平均または期待値ともいう)を求めよ.また,平均値を最大にする q の値を求めよ.

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