Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
1990年度一覧へ
大学別一覧へ
広島大学一覧へ
1990-10721-0101
1990 広島大学 前期
代数幾何・基礎解析
易□ 並□ 難□
【1】 原点 O を中心とする半径 1 の円周上の動点を P( a,b) とする. 3 つのベクトル
e1 →= ( 10 ) ,e 2→ =( 0 1 ), p→ =( a b)
に対して, 1 次変換 f を f⁡ (e1 →) =e2 → ,f⁡( e2 →)= p→ となるように定める.
(1) q→ =( a2 -b2 b ) とするとき, |f⁡ (q→ )| を求めよ.
(2) f を表す行列を A とするとき,任意の実数 t に対して,行列 B= A+t⁢ E が逆行列をもつような点 P の範囲を図示せよ.ただし, E は単位行列である.
1990-10721-0102
【2】 平行四辺形 ABCD において, AB→ =a→ , AD→ =b→ , BP→ =x⁢ BC→ ( 0≦x≦ 1) とする.
(1) AP→ , DP→ をそれぞれ a→ , b→ ,x で表せ.
(2) a→ と b → の内積が正のとき, |AP →+ DP→ | 2 の最小値を a→ , b→ を用いて表せ.
1990-10721-0103
【3】 正の数からなる数列 {an }( n=1 ,2 , ⋯) に対して
fn⁡ (x)= 8⁢x2 -2⁢ an+ 1⁢x +1 an
によって定まる 2 次式の列 {fn ⁡(x )} を考える.すべての n に対して,方程式 f n⁡( x)=0 が重解をもつとき,次の(1),(2)に答えよ.
(1) bn= log2⁡ an とおくとき, bn と b n+1 の関係式を求めよ.
(2) a1= 4 として, an を n で表せ.
1990-10721-0104
【4】 実数 x が方程式 sin4 ⁡x-6 ⁢sin2 ⁡x⁢cos 2⁡x+ cos4⁡ x=0 を満たすとする.
(1) sin2⁡ x⁢cos2 x の値を求めよ.
(2) 0≦x≦ π の範囲で x の値をすべて求めよ.
1990-10721-0105
【5】 曲線 y= a⁢x3 ( a> 0) を C とする. C 上の原点以外の点 P0 (x 0,a⁢ x03 ) から C に P0 を接点としない接線を引き,その接点を P1 とする.次に点 P 1 から C に P1 を接点としない接線を引き,その接点を P 2 とする.以下同様にして, C 上に点 P 1 ,P 2 ,⋯ ,P n, ⋯ を定める.点 Pn の x 座標を x n, 線分 P n-1 Pn と C で囲まれる部分の面積を Sn ( n= 1, 2 ,⋯ ) とする.
(1) x1= -1 2⁢ x0 を示せ.
(2) S2 を S1 で表せ.
(3) ∑ k=1 n⁡ Sk を a ,x0 ,n で表せ.
1990-10721-0106
代数幾何・基礎解析・微分積分・確率統計
【1】 2 つの直線 l1 :y=0 , l2:y =3⁢ x に関する対称移動を表す 1 次変換の行列をそれぞれ A ,B とする.
(1) 行列 A ,B をそれぞれ求めよ.
(2) (A⁢ B)2 =B⁢ A を示せ.
(3) l1 ,l2 に関する対称移動を n 回( n≧ 3 )繰り返して得られるすべての 1 次変換は, 3 回以下の繰り返しで得られる 1 次変換のいずれかと一致することを, n に関する数学的帰納法によって証明せよ.ただし, (B ⁢A) 2=A ⁢B が成り立つことを用いてよい.
1990-10721-0107
【2】 1 辺の長さ d の正四面体 OABC において, ▵ABC の重心を G ,▵ABC を含む平面を α とし, OA→ =a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ とおく.
(1) ベクトル OG → を a→ , b→ , c→ で表し, OG→ は AB → および AC → にそれぞれ垂直であることを示せ.
(2) 平面 α 上の点 P が等式
| PO→ | 2+ | PA→ |2 + |PB →| 2+ | PC→ |2 =3⁢ d2
を満たすならば, P は G を中心とする半径 13 ⁢d の円周上にあることを示せ.
1990-10721-0108
【3】 曲線 y= 1 2⁢ x2- 1( x> 0) を C とする. C 上に異なる点列 A 1, A2 , ⋯, An , ⋯ があり,点 An から x 軸に下ろした垂線と x 軸との交点を P n( xn, 0) (n =1 ,2 , ⋯) とする.各自然数 n に対し,点 A n+1 における C の法線(接線に垂直な直線)が Pn を通るとする.ただし, x1 >2 とする.
(1) xn と x n+1 の関係式を求めよ.
(2) xn を x1 と n で表し, limn→ ∞⁡ xn を求めよ.
1990-10721-0109
【4】 任意の実数 x ,h に対して,次の不等式(1),(2)が成り立つことを示せ.
(1) |sin⁡ ⁡(x+ h)-sin ⁡x|≦ |h|
(2) |cos⁡ (x+h )-cos⁡ x+h⁢ sin⁡x |≦ h2
1990-10721-0110
【5】 曲線 y= x⁢e -x を C とする. C と C 上の点 P( t,t⁢ e-t )( 0≦t ≦1 ) における接線,および 2 直線 x= 0, x=1 で囲まれる部分の面積を S⁡ (t) とする.ただし, e は自然対数の底である.
(1) 曲線 C の概形をかき, S⁡(t ) を求めよ.
(2) S⁡(x ) を最小にする t の値を求めよ.
1990-10721-0111
【6】 箱の中に, 1 から 2⁢ n までの数をそれぞれ 1 つずつ書いた 2⁢ n 枚のカードがあり,この中から無作為にカードを取り出す. 1≦q≦ 2⁢n- 1 である自然数 q に対して,確率変数 X を次のように定める. 1 枚のカードを取り出したとき,その数が q+ 1 以上であれば,その数を X とし, q 以下ならばそのカードをもとに戻してもう一度 1 枚のカードを取り出し,その数を X とする.
(1) X の確率分布を求めよ.
(2) X の平均値(平均または期待値ともいう)を求めよ.また,平均値を最大にする q の値を求めよ.