1990　九州大学　前期MathJax

【１】　平面上で，点$(1,0)$を点$(2,1)$に，点$(0,1)$を点$(1,2)$に移す$1$次変換を$f$とし，原点のまわりの角度$45°$の回転を$g$とする．

1.　$f\text{，}g$および合成変換$g\circ f$を表す行列をそれぞれ求めよ．

2.　$f$によって自分自身に移されるような原点を通る直線を求めよ．

3.　$g\circ f$によって，円$x^2+y^2=1$が移される曲線の方程式を求めよ．

【２】　$a\text{，}b$を正の定数とする．直線$y=ax$と放物線$y=x^2-bx$との交点で原点と異なるものを$\mathrm{P}$とする．この放物線と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S$とし，放物線と$x$軸および$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれる部分の面積を$T$とする．

1.　$S\text{，}T$を$a\text{，}b$で表せ．

2.　${\displaystyle \frac{T}{S}}=5$とするとき，$b$を$a$で表せ．

【１】　平面上で，点$(1,0)$を点$(2,1)$に，点$(0,1)$を点$(1,2)$に移す$1$次変換を$f$とし，原点のまわりの角度$45°$の回転を$g$とする．

1.　$f$と$g$を表す行列をそれぞれ求めよ．

2.　合成変換$g\circ f$を表す行列とその逆行列を求めよ．

3.　$g\circ f$によって，円$x^2+y^2=1$が移される曲線の方程式を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=a_n\times (1-{\displaystyle \frac{1}{{10}^n}})\text{（}n\geqq 1\text{）}$

で定める．

1.　$a_2\text{，}{a}_3$を計算し，答えを小数で書け．

2.　$n\geqq 2$のとき

$a_n\leqq 0.9$かつ$a_n-a_{n+1}\leqq {\displaystyle \frac{9}{{10}^{n+1}}}$

が成り立つことを示せ．

3.　すべての$n$に対して

$a_n>0.89$

が成り立つことを示せ．

【３】　$4$枚の硬貨を投げる試行を考える．表の出た枚数を$x\text{，}$裏の出た枚数を$y$とする．$x>y$ならば右に$1$歩，$x<y$ならば左に$1$歩進み，$x=y$の時はその場にとどまる．

1.　$3$回の試行の後，始めにいた場所から右に$1$歩進んだ所にいる確率を求めよ．

2.　$3$回の試行の後，始めにいた場所から右に$k$歩（$k=1\text{，}2\text{，}3$）離れている場合の得点は$k$とし，それ以外の場合の得点は$0$とする．得点の期待値を求めよ．

【１】　平面上の$2$点$\mathrm{P}(a,c)\text{，}\mathrm{Q}(b,d)$に対して，$1$次変換

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

を考える．原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$x^2+y^2=1$を$C$とする．

1.　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がともに$C$上にあり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$が直交するとき，この$1$次変換は$C$上の任意の点を$C$上に移すことを示せ．

2.　逆に，この$1$次変換が$C$上の任意の点を$C$上に移すならば，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$はともに$C$上の点であり，かつベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は直交していることを示せ．

【４】　だ円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$上の第$1$象限内の点$\mathrm{P}$においてこのだ円に引いた接線が点$(4,0)$を通るとする．

1.　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

2.　$\mathrm{O}$を原点，$\mathrm{A}$をだ円の頂点$(2,0)$とする．第$1$象限において，線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OP}$およびだ円の弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{AP}}$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　数直線上を，時刻$t=0$に原点$\mathrm{O}$を出発して，つぎの速度$v(t)$で運動している点$\mathrm{P}$がある．

$\begin{array}{ll}v(t)=t-3& \text{（}0\leqq t\leqq 8\text{のとき）}\\ v(t)=5e^{8-t}& \text{（}t\geqq 8\text{のとき）}\end{array}$

1.　$\mathrm{P}$がもっとも左にくるときの時刻と，その位置を求めよ．

2.　時刻$t$における$\mathrm{P}$の位置を$p(t)$とするとき，$\underset{t\to \infty }{\lim }p(t)$を求めよ．