1990　九州大学　後期　工学部MathJax

【１】　行列$\left(\begin{array}{cc}c& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$によって表される$1$次変換$f$は，だ円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a\text{，}b>0\text{）}$を半径$1$の円に移すとする．

1.　$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

2.　このだ円に内接し，各辺が$x$軸又は$y$軸に平行である長方形$\mathrm{ABCD}$は，$1$次変換$f$によって正方形に移されているとする．長方形$\mathrm{ABCD}$を求めよ．

【２】　$a_1=a\text{，}{a}_{k+1}+b{a}_k=1\text{，}k=1\text{，}2\text{，}\cdots$によってきめられる数列について次の問いに答えよ．

1.　第$k$項を求めよ．

2.　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

【３】　$xy‐$平面上の曲線$C:y=x^n$（$n$は$4$以上の整数）上の点$\mathrm{P}(t,t^n)\text{（}t>0\text{）}$における法線が$y$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．

1.　原点を$\mathrm{O}$とするとき，曲線$C$と$2$つの線分$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{OQ}$で囲まれる部分の面積を求めよ．

2.　この面積の最小値を求めよ．またそのときの$t$の値を求めよ．

【４】　$xy‐$平面上の第$1$象限に，図のように，両端$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がそれぞれ$x$軸，$y$軸上を動く長さ$1$の線分がある．$\angle \mathrm{OAB}=\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のときの，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$L_{\theta }$で表す．次の問いに答えよ．

1.　$L_{\theta }$の方程式を求めよ．

2.　$L_{\theta }$と$L_{{\theta }_0}\text{（}\theta \ne {\theta }_0\text{）}$の交点の座標を$(X(\theta ,{\theta }_0),Y(\theta ,{\theta }_0))$とするとき，

$X({\theta }_0)=\underset{\theta \to {\theta }_0}{\lim }X(\theta ,{\theta }_0)\text{，}Y({\theta }_0)=\underset{\theta \to {\theta }_0}{\lim }Y(\theta ,{\theta }_0)$

を求めよ．

3.　${\theta }_0$が$0$から${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$まで変化するときの，点$(X({\theta }_0),Y({\theta }_0))$の軌跡$C$を求めよ．

4.　曲線$C$の長さを求めよ．