1991 大学入試センター試験 本試験 数学IMathJax

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1991 大学入試センター試験 本試

数学I

〔2〕と合わせて配点35点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔1〕 次の文中の   にあてはまるものを,下の 1 4 のうちから選べ.

(1) 実数 x y について, x 2=y 2 であることは, x 3=y 3 であるための

(2) 実数 x について, 2 x2 4x+ 1< 0 であることは,

(x3 )(x 2) (x+ 2)>0

であるための

(3)  ABC において

cosA cos Bcos C> 0

であることは, ABC が鋭角三角形であるための

(4) 自然数 m n について, m n がともに 5 の倍数であることは, m+n m n がともに 5 の倍数であるための

1991 大学入試センター試験 本試

数学I

〔1〕と合わせて配点35点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔2〕  P( x)=a x4 +(b a) x3+ (12 ab ) x2 +(a b10) x+2 ab とする.

(1)  P(x ) x 2 で割り切れるならば,

a= または b=

である.

(2)  P( x) x +2 で割り切れるならば,

a= キク または b=

である.

(3)  P( x) x 24 で割り切れるならば,

a= b=

または

a= シス b=

である.

  のとき,

P(x ) =(x 24 )(x ) ( x + )

であり, のとき,

P(x ) =( x2 4) ( x2 + x+ )

である.

1991 大学入試センター試験 本試

数学I

配点35点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】 直線 x 2y+ 6=0 と円 x 2+y 22 x 6y= 0 は,座標平面を四つの領域にわける.点 (0 ,8) を含む領域を A (0 ,4) を含む領域を B (0 ,2) を含む領域を C (0 ,−2) を含む領域を D とする.ただし,それぞれの領域は境界の点を含まないものとする. から までは,各問いの解答群からあてはまるものをそれぞれ一つずつ選べ.

(1) 領域 A の連立不等式で表される.また,領域 C の連立不等式で表される.

(2)  (x2 y+6) (x2 +y2 2x 6y )> 0 の表す領域は である.また, (x 2y+6 )2 (x2 +y2 2x 6y )> 0 の表す領域は である.

1 A B   2 A C   3 A D   4 B C
5 B D   6 C D   7 A BD   8 A CD

(3) 点 (x ,y) が領域 B とその境界を動くとき, x2 +y2 は点 ( , ) で最大値 ケコ をとる.

(4) 直線 x 3y+k =0 が四つの領域 A B C D のうち, A D のみを通るための k の範囲は

k サシ スセ k

である.また,この直線が四つの領域のすべてを通るための k の範囲は

< k< タチ

である.

1991 大学入試センター試験 本試

数学I

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  ABC において AB =5 AC =4 とする.辺 BC 上に点 P をとり, P から辺 AB および辺 AC またはそれらの延長線にひいた垂線をそれぞれ PD PE とする. PDE = 14 ABC であるとき, A の大きさと点 P の位置を求めよう.

  ABC の面積は

ABC= アイ sin A

である.また, PD=a PE= b とおくと,

PDE= a b sin A

である.これと与えられた条件より,

ab=

が得られる.一方 ABC の面積は

ABC= a+ b

とも表されるから, より

a + a= sin A

が得られる. sinA 1 であることを用いると, より a= A = サシ ° であることがわかる.したがって,

b= BP BC=

である.

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