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1991-10001-0101
1991 北海道大学 前期
文系,理系共通
易□ 並□ 難□
【1】 x についての 2 次方程式
x2- 2⁢p⁢ x+p2 -2⁢ p-1= 0
の 2 つの解を α ,β とする. 12⁢ (α -β) 2-2 (α +β) 2+2 が整数となる実数 p をすべて求めよ.
1991-10001-0102
文系・理II,III系,水産系
【2】 平面上に 3 点 O( 0,0) ,A( 1,0) ,B( -1,0 ) があり,点 P は内積に関する条件
(PA →, PB→ )+3 ⁢( OA→, OB→ )= 0
を満たしながら平面上を動いている.
(1) 点 P の軌跡を求めよ.
(2) |PA → | ⋅| PB→ | の最大値と最小値を求めよ.
1991-10001-0103
文系
【3】 n は 2 以上の自然数とする.数学的帰納法を用いて次の不等式を証明せよ.
1 2+ 1 3 +⋯+ 1n <2⁢ n-2
1991-10001-0104
【4】 x の 1 次式 f⁡ (x) に対し
F⁡(x )=x⁢ ∫ 12⁢x +3 ⁡f⁡( t)⁢d t
とおく. F⁡(1 )=2 ,F′ ⁡(0 )=-10 となるように f⁡ (x) を定めよ.
1991-10001-0105
理I系,医,歯
【2】 実数 t に対し
x⁡(t )= 2t+ 2-t 2 , y⁡(t )= 2t- 2-t 2
とおく. t が実数全体を動くとき, 3 点 (x⁡ (t), y⁡(t) ), (x⁡( t+1) ,y⁡( t+1) ), (x⁡( t+2) ,y⁡( t+2) ) を頂点とする 3 角形の重心の軌跡を求めよ.
1991-10001-0106
【3】 曲線 C: y=f⁡ (x) 上の点 P( x,y) における接線は,つねに点 P と点 Q (1, 0) を結ぶ直線と直交している.
(1) y=f⁡ (x ) の満たす微分方程式を求めよ.
(2) 曲線 C が直線 y= -2 3⁢x +5 と接するとき,曲線 C の方程式を求めよ.
1991-10001-0107
理I,II,III系,医,歯,水産
【4】 次の問いに答えよ.
(1) limn→ ∞⁡ 1n ⁢ { ∑ k=n+1 2⁢n ⁡log ⁡k-n ⁢log⁡n }= ∫ 12⁡ log⁡x⁢ dx
を示せ.
(2) limn→ ∞⁡ ( ( 2⁢n) !n! ⁢nn ) 1n を求めよ.
1991-10001-0108
【5】 xyz 空間に 3 点 O( 0,0, 0), A(2 ,0,0 ),B (0, 2,0 ) と半径 6 の球がある.球 S は z 座標正の中心をもち, 3 つの線分 OA , OB ,AB に接している.
(1) 球 S の中心の座標を求めよ.
(2) 球 S の xy 平面より上にある部分の体積を求めよ.
1991-10001-0109
理II,III系,水産
【3】 ▵ABC は ∠A= 120° ,AB⋅ AC=1 を満たす. ∠A の 2 等分線と BC との交点を D とする.
(1) AB=x とおいて, AD を x で表せ.
(2) x が動くとき, AD の最大値とそのときの x を求めよ.