1991　北海道大学　後期MathJax

【１】(1)　$x$の$3$次方程式

$x^3-(4p+1)x^2+(p^2+4p+1)x-(p^2+1)=0$

の解で，すべての実数$p$に共通なものを求めよ．

(2)　上の方程式の解がすべて実数であるような$p$の範囲で，(1)の共通解以外の$2$つの解を$\tan \alpha \text{，}\tan \beta$としたとき，$tan(\alpha +\beta )$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　点$(0,0,1)$を通り$x$軸と平行な直線を$l$とし，方程式

$\sqrt{5}x-3=\sqrt{2}y-2=z$

で定まる直線を$m$とする．直線$m$上に中心をもつ球$S$が$y$軸および$l$と接している．球$S$の半径と球$S$の中心の座標を求めよ．

【３】　曲線$y=\sin x(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$上の点$\mathrm{P}(x,\sin x)$と$x$軸上の点$\mathrm{Q}(q,0)$は長さ$1$の線分で結ばれ，$q\leqq x$を満たしながら移動している．

(1)　$q$を$x$で表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が速さ$1$で右方向に動いているとき，点$\mathrm{Q}$の速さを$x$で表わせ．とくに，点$\mathrm{P}$が原点を通る瞬間の点$\mathrm{Q}$の速さを求めよ．

【４】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x+4}}}$と$x$軸および$2$直線$x=a\text{，}x=a+1$によって囲まれる図形を考える．この図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V(a)$とする．$a$が実数全体を動くとき$V(a)$が最大となる$a$を求めよ．