1991　東北大学　前期MathJax

【１】(ⅰ)　球面$x^2+y^2+z^2-2z=0$に接し，直線$x+y-k=z=0\text{（}k>0\text{）}$を含む$2$つの平面の方程式を求めよ．また，このときの接点の座標を求めよ．

(ⅱ)　$k$が$\sqrt{2}\leqq k\leqq \sqrt{6}$を満たして動くとき，(ⅰ)で求めた$2$つの平面のなす角$\theta$がとる値の範囲を求めよ．ただし$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【２】(ⅰ)　$\alpha <\beta$のとき

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )dx=-{\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$

が成り立つことを証明せよ．

(ⅱ)　$2$つの放物線$C_1:y=x^2$と$C_2:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{(x+1)}^2$の交点を$\mathrm{P}(\alpha ,{\alpha }^2)\text{，}\mathrm{Q}(\beta ,{\beta }^2)\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とし，$C_2$上の点$\mathrm{R}(t,{\displaystyle \frac{1}{2}}{(t+1)}^2)$を$\alpha <t<\beta$となるようにとる．$C_2$の$\mathrm{R}$における接線と$C_1$で囲まれる部分の面積が，$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積の${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$倍になるように$t$の値を定めよ．

【３】　$xyz$空間の$4$点

$(0,0,0)\text{，}(\cos \theta ,\sin \theta ,0)\text{，}(\cos \theta ,\sin \theta ,\theta )\text{，}(0,0,\theta )$

を頂点とする長方形を$R_{\theta }$とし，$\theta$が$0$から${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$まで変化するとき，$R_{\theta }$が動いてできる立体を$K$とする．

(ⅰ)　$K$を平面$z=t(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$で切ったときの切り口の面積を求めよ．

(ⅱ)　$K$の体積を求めよ．

【４】　点$(1,-1)$を点$(\sqrt{2},-\sqrt{2})$に，点$(1,1)$を点$(\sqrt{2},0)$にうつす$1$次変換を$f$とする．さらに，直線$l:x+y=1$上の点${\mathrm{P}}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次のように帰納的に定める．

(1)　点$({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$を${\mathrm{P}}_1$とする．

(2)　${\mathrm{P}}_n$を$f$でうつした点を${\mathrm{P}}_n^{\prime }$とし，原点$\mathrm{O}$と${\mathrm{P}}_n^{\prime }$を通る直線が$l$と交わる点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．

　$a_n=\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}}\right|$とすると，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$はどのような数列か．

【１】　曲線$C:xy+\sqrt{5}(x-y)+4=0$の原点を通る$2$つの接線を$l_1\text{，}{l}_2$とする．$C$と$l_1\text{，}{l}_2$とによって囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　$f(t)\text{，}g(t)$は微分可能な関数とし，行列

$A\left(t\right)=f\left(t\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)+g\left(t\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$

はすべての実数$s\text{，}t$に対して，次の$2$つの条件を満たすとする．

(1)　$A(s+t)=A(s)A(t)$

(2)　$A(t)$の表す$1$次変換は双曲線$C:x^2-y^2=1$上の任意の点を$C$上にうつす．

　このとき$f(t)\text{，}g(t)$はどのような関数か．

【３】(ⅰ)　円$x^2+y^2=1$に内接する正方形の$1$つの頂点の座標を$(p,q)$とするとき，残りの頂点の座標を$p$と$q$で表せ．

(ⅱ)　$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\text{（}a\ne 0\text{）}$とする．曲線$y=f(x)$は円$x^2+y^2=1$と$4$点のみを共有し，これらの$4$点は，ある正方形の頂点になっている．$f(x)$を求めよ．

【４】　$n$を正の整数とする．箱の中に$3^n$枚のカードが入っていて，これらのカードには$1$から$3^n$までの番号がつけてある．この箱から無作為に$1$枚のカードをとり出し，その番号を$X$とする．次に，このカードを箱の中にもどし，再び無作為に$1$枚のカードをとり出して，その番号を$Y$とする．このようにして得られた整数の組$(X,Y)$について，「$X$と$Y$の積$XY$は$3^n$で割り切れる」という事象を$\mathrm{A}$とする．

(ⅰ)　$0\leqq j\leqq n$である整数$j$に対し，「$Y$は$3^j$で割り切れるが$3^{j+1}$では割り切れない」という事象を${\mathrm{B}}_j$とおく．事象$\mathrm{A}\cap {\mathrm{B}}_j$が起こる確率$P(\mathrm{A}\cap {\mathrm{B}}_j)$を求めよ．

(ⅱ)　事象$\mathrm{A}$が起こる確率$P(\mathrm{A})$を求めよ．

(ⅲ)　事象$\mathrm{A}$が起こったときに事象${\mathrm{B}}_n$が起こる条件つき確率を$P_{\mathrm{A}}({\mathrm{B}}_n)$とするとき，${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq P_{\mathrm{A}}({\mathrm{B}}_n)<{\displaystyle \frac{1}{2}}$が成立するような$n$の値を求めよ．

【５】(ⅰ)　$0<x<1$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$\log x>2(1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}})$

(ⅱ)　曲線$y=x(\log x-1)\text{（}x>0\text{）}$の概形をかけ．

(ⅲ)　直線$x=b\text{（}0<b<1\text{），}y=0$および曲線$y=x(\log x-1)$で囲まれる図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V(b)$とする．$\underset{b\to 0}{\lim }V(b)$を求めよ．

【６】　$a$を実数とし，点$(1,-1)$を点$(\sqrt{2},-\sqrt{2})$に，点$(1,1)$を点$(2a-\sqrt{2},2\sqrt{2}-2a)$にうつす$1$次変換を$f$とする．さらに，直線$l:x+y=1$上の点${\mathrm{P}}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次のように帰納的に定める．

(1)　点$({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$を${\mathrm{P}}_1$とする．

(2)　${\mathrm{P}}_n$を$f$でうつした点を${\mathrm{P}}_n^{\prime }$とし，原点$\mathrm{O}$と${\mathrm{P}}_n^{\prime }$を通る直線が$l$と交わる点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．

　このとき

(ⅰ)　$\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}}\right|$を$a$と$n$で表せ．

(ⅱ)　$\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_8}\right|={\displaystyle \frac{635}{\sqrt{2}}}$となるような$a$の値を求めよ．

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