1991　東北大学　後期MathJax

【１】　実数$x$に対し，行列$A\left(x\right)$を

$A\left(x\right)=\left(\begin{array}{cc}x-1& 1\\ -1& x+1\end{array}\right)$

と定義する．

(ⅰ)　$A(x)A(y)=A(xy)+(x+y-1)A(0)$を証明せよ．

(ⅱ)　$n$が$2$以上の整数のとき

${A(x)}^n=A(x^n)+(n{x}^{n-1}-1)A(0)$

が成り立つことを証明せよ．ただし${A(x)}^1=A(x)\text{，}{A(x)}^n=A(x){A(x)}^{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$とする．

【２】　実数$r$に対して，空間の点$(r,r^2,r^3)$を$\mathrm{P}(r)$で表す．さらに，点$\mathrm{P}(r)$を通り方向ベクトルが$(1,2r,3r^2)\text{，}(0,2,6r)$である$2$本の直線を含む平面を$\pi (r)$で表す．$abc\ne 0\text{，}a\ne b\text{，}a\ne c$であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$3$点$\mathrm{P}(0)\text{，}\mathrm{P}(a)\text{，}\mathrm{P}(b)$を通る平面$\alpha$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　$3$つの平面$\pi (0)\text{，}\pi (a)\text{，}\pi (c)$の共有点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(ⅲ)　$\alpha$が$\mathrm{Q}$を通るための必要十分条件を求めよ．

【３】　だ円$C:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a>0\text{，}b>0\text{）}$と第$1$象限の点で接する直線を$l$とし，$C\text{，}l$および$x$軸，$y$軸で囲まれる図形を$A$とする．

(ⅰ)　$A$の面積を最小にする$l$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた直線$l$で定まる図形$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【４】　次の$3$つの命題が正しいかどうかを調べよ．

(ⅰ)　点$(\sin 2\theta ,\cos 2\theta ,2\cos \theta )$は$\theta$の値によらず同一平面上にある．

(ⅱ)　点$(\sin 2\theta ,\cos 2\theta ,2\cos \theta )$は$t$の値によらず同一球面上にある．

(ⅲ)　点$(t,{\log }_2(1+4^t),{\log }_2(2^t+2^{-t}))$は$t$の値によらず同一平面上にある．

【１】　傾きが正の直線$l$が$2$つの放物線

$C_1:y=a{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{3a^3}}\text{，}{C}_2:y=b{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{3b^3}}\text{（}a>0\text{，}b>0\text{，}a\ne b\text{）}$

に接している．このとき次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$l$と$C_1$の接点を$(p,q)$とするとき，$p\text{，}q$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(ⅱ)　$X=\underset{b\to a}{\lim }p\text{，}Y=\underset{b\to a}{\lim }q$とする．$X\text{，}Y$を求め，さらに$Y$を$X$の式で表せ．

(ⅲ)　$a$が正の実数全体を動くとき，点$(X,Y)$がえがく曲線の概形をかけ．

【２】　正の実数$p$に対し，数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を

$\{\begin{array}{l}{a}_1=p^2\\ a_{n+1}=\sqrt{p{a}_n}\text{（}n\geqq 1\text{）}\end{array}\text{，}\{\begin{array}{l}{b}_1={\displaystyle \frac{2}{p}}\\ b_{n+1}=\sqrt{{\displaystyle \frac{b_n}{2^n}}}\text{（}n\geqq 1\text{）}\end{array}$

によって定義する．

(ⅰ)　$a_n\text{，}{b}_n$を$p$と$n$の式で表せ．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}\sqrt{a_n{b}_n}=1$となる$p$の値を求めよ．

【３】　$2$つのだ円

$C_1:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}=1\text{，}{C}_2:{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}=1$

に関して次の問いに答えよ．ただし$a>b>0$とする．

(ⅰ)　第$1$象限にある$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$b\cos \gamma (0<\gamma <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とするとき，$\cos \gamma \text{，}\sin \gamma$を$a$と$b$で表せ．

(ⅱ)　$C_1$の内部と$C_2$の内部の共通部分の面積を$a\text{，}b\text{，}\gamma$の整式で表せ．

【４】　$1$次変換$f$を表す行列$P$が

$P^3=E\text{，}P\ne E\text{（}E\text{は単位行列）}$

を満たしている．また，相異なる$3$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2)\text{，}\mathrm{C}(a,b)$の$f$による像$f(\mathrm{A})\text{，}f(\mathrm{B})\text{，}f(\mathrm{C})$はそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のいずれかに一致しているとする．

(ⅰ)　$f(\mathrm{A})\text{，}f(\mathrm{B})\text{，}f(\mathrm{C})$は相異なることを示せ．

(ⅱ)　$f(\mathrm{A})\ne \mathrm{A}\text{，}f(\mathrm{B})\ne \mathrm{B}\text{，}f(\mathrm{C})\ne \mathrm{C}$であることを示せ．

(ⅲ)　$a\text{，}b$および$P$を求めよ．

【５】　$a$は正の実数とし，$n$を正の整数とする．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{na}{\pi }}$を越えない最大の整数を$m$とするとき

$2m\leqq {\displaystyle {\int }_0^{na}}|\sin x|dx<2(m+1)$

が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^a}|\sin nx|dx$を求めよ．