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1991 東京大学 前期

文科

易□ 並□ 難□

【1】 関数

f( x)= x3- 2x2 -3x +4

の,区間 - 74 x3 での最大値と最小値を求めよ.

1991 東京大学 前期

文科

易□ 並□ 難□

【2】  xyz 空間の点 P ( 2,0, 1) と, yz 平面上の曲線 z =y2 を考える.点 Q がこの曲線上を動くとき,直線 PQ x y 平面と出会う点 R のえがく図形を F とする.

  xy 平面上で F を図示せよ.

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文科

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【3】 二辺の長さが 1 a の長方形の頂点 A B C D および対角線の共有点 E を中心として,半径 r の円を 5 つえがく.どの 2 つの円の内部も共通部分をもたないようにして半径 r を最大にするとき, 5 つの円が長方形から切りとる面積を S ( a) とする.

  a の関数 S( a)a のグラフの概形をえがけ.

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文科

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【4】 正四角錐 V に対し,その底面上に中心をもち,そのすべての辺と接する球がある.底面の一辺の長さを a とするとき,次の量を求めよ.

(1)  V の高さ

(2) 球と錐 V との共通部分の体積

 ただし,正四角錐とは,正方形を底面とし,その各辺を底辺とする 4 つの合同な二等辺三角形と底面とで囲まれた図形とする.

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理科

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【1】 平面上に正四面体が置いてある.平面と接している面の 3 辺のひとつを任意に選び,これを軸として正四面体をたおす. n 回の操作の後に,最初に平面と接していた面が再び平面と接する確率を求めよ.

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理科

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【2】  a b c を正の実数とする. xyz 空間において, |x |a |y |b z=c を満たす点 ( x,y, z) からなる板 R を考える.点光源 P が平面 z =c+1 上の楕円 x 2a2 + y 2b2 =1 z=c +1 の上を一周するとき,光が板 R にさえぎられて x y 平面上にできる影の通過する部分の図をえがき,その面積を求めよ.

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理科

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【3】 定数 p に対して, 3 次方程式 x3-3 x-p =0 の実数解の中で最大のものと最小のものとの積を f (p ) とする.ただし,実数解がただひとつのときには,その 2 乗を f (p ) とする.

(1)  p がすべての実数を動くとき, f( p) の最小値を求めよ.

(2)  p の関数 f (x ) のグラフの概形をえがけ.

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理科

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【4】(1) 自然数 n =1 2 3 に対して,ある多項式 pn (x ) qn (x ) が存在して,

sinn θ= pn (tan θ) cosn θ cos nθ =qn (tan θ) cosn θ

と書けることを示せ.

(2) このとき, n>1 ならば次の等式が成立することを証明せよ.

pn ( x)= nq n-1 (x ) qn ( x)= -np n-1 ( x)

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理科

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【5】  xy 平面上, x 座標, y 座標がともに整数であるような点 ( m,n ) を格子点とよぶ.各格子点を中心として半径 r の円がえがかれており,傾き 25 の任意の直線はこれらの円のどれかと共有点をもつという.このような性質をもつ実数 r の最小値を求めよ.

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理科

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【6】  f( x) x >0 で定義された連続な関数で, 0<x 1<x 2 ならば,つねに f ( x1) >f( x2) >0 であるものとし, S( x)= x2x f (t) dt とおく.このとき, S( 1)= 1 であり,さらに任意の a >0 に対して,原点と点 ( a,f (a )) 原点と点 ( 2a, f( 2a )) を結ぶ 2 直線と曲線 y =f (x ) とで囲まれる部分の面積は 3 S (a ) に等しいものとする.

(1)  S( x) f (x) -2f (2 x) をそれぞれ x の関数として表せ.

(2)  x>0 に対して, a( x)= limn 2 nf ( 2n x) とおく.積分 x2 xa (t )d t の値を求めよ.

(3) 関数 f (x ) を決定せよ.

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