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1991 東京大学 前期
文科
【1】 関数
f⁡( x)= x3- 2⁢x2 -3⁢x +4
の,区間 - 74≦ x≦3 での最大値と最小値を求めよ.
【2】 xyz 空間の点 P ( 2,0, 1) と, yz 平面上の曲線 z =y2 を考える.点 Q がこの曲線上を動くとき,直線 PQ が x y 平面と出会う点 R のえがく図形を F とする.
xy 平面上で F を図示せよ.
【3】 二辺の長さが 1 と a の長方形の頂点 A ,B , C ,D および対角線の共有点 E を中心として,半径 r の円を 5 つえがく.どの 2 つの円の内部も共通部分をもたないようにして半径 r を最大にするとき, 5 つの円が長方形から切りとる面積を S ⁡( a) とする.
a の関数 S⁡( a)a のグラフの概形をえがけ.
【4】 正四角錐 V に対し,その底面上に中心をもち,そのすべての辺と接する球がある.底面の一辺の長さを a とするとき,次の量を求めよ.
(1) V の高さ
(2) 球と錐 V との共通部分の体積
ただし,正四角錐とは,正方形を底面とし,その各辺を底辺とする 4 つの合同な二等辺三角形と底面とで囲まれた図形とする.
理科
【1】 平面上に正四面体が置いてある.平面と接している面の 3 辺のひとつを任意に選び,これを軸として正四面体をたおす. n 回の操作の後に,最初に平面と接していた面が再び平面と接する確率を求めよ.
【2】 a ,b , c を正の実数とする. xyz 空間において, |x |≦a , |y |≦b , z=c を満たす点 ( x,y, z) からなる板 R を考える.点光源 P が平面 z =c+1 上の楕円 x 2a2 + y 2b2 =1 , z=c +1 の上を一周するとき,光が板 R にさえぎられて x y 平面上にできる影の通過する部分の図をえがき,その面積を求めよ.
【3】 定数 p に対して, 3 次方程式 x3-3 ⁢x-p =0 の実数解の中で最大のものと最小のものとの積を f ⁡(p ) とする.ただし,実数解がただひとつのときには,その 2 乗を f ⁡(p ) とする.
(1) p がすべての実数を動くとき, f⁡( p) の最小値を求めよ.
(2) p の関数 f ⁡(x ) のグラフの概形をえがけ.
【4】(1) 自然数 n =1 ,2 , 3 ,⋯ に対して,ある多項式 pn⁡ (x ), qn ⁡(x ) が存在して,
sin⁡n ⁢θ= pn⁡ (tan⁡ θ)⁢ cosn⁡ θ ,cos ⁡n⁢θ =qn ⁡(tan ⁡θ) ⁢cosn ⁡θ
と書けることを示せ.
(2) このとき, n>1 ならば次の等式が成立することを証明せよ.
pn ′⁡( x)= n⁢q n-1 ⁡(x ), qn ′⁡( x)= -n⁢p n-1 ⁡( x)
【5】 xy 平面上, x 座標, y 座標がともに整数であるような点 ( m,n ) を格子点とよぶ.各格子点を中心として半径 r の円がえがかれており,傾き 25 の任意の直線はこれらの円のどれかと共有点をもつという.このような性質をもつ実数 r の最小値を求めよ.
【6】 f⁡( x) は x >0 で定義された連続な関数で, 0<x 1<x 2 ならば,つねに f ⁡( x1) >f⁡( x2) >0 であるものとし, S⁡( x)= ∫ x2⁢x f⁡ (t) ⁢dt とおく.このとき, S⁡( 1)= 1 であり,さらに任意の a >0 に対して,原点と点 ( a,f⁡ (a )) , 原点と点 ( 2⁢a, f⁡( 2⁢a )) を結ぶ 2 直線と曲線 y =f⁡ (x ) とで囲まれる部分の面積は 3 ⁢S⁡ (a ) に等しいものとする.
(1) S⁡( x) ,f⁡ (x) -2⁢f⁡ (2⁢ x) をそれぞれ x の関数として表せ.
(2) x>0 に対して, a⁡( x)= limn→ ∞2 n⁢f ⁡( 2n⁢ x) とおく.積分 ∫x2 ⁢xa ⁡(t )⁢d t の値を求めよ.
(3) 関数 f ⁡(x ) を決定せよ.