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1991 東京工業大学 前期

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】  n を正の整数とする. 10 進法で表した n ! について, 1 の位から 10 m-1 の位までの数字がすべて 0 で, 10m の位の数字が 0 でないとき,関数 f (n ) の値を m とする.このとき,次の値を求めよ.

(1)  f( 10) f( 100)

(2)  limn f ( 10n) 10n

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【2】 空間内の x y 平面上の直線 l をだ円 x2+ y 24 =1 z= 0 の接線とする.直線 l と点 ( 1 2, 1,1 ) を含む平面 π z 軸と交わる点 Q ( 0,0, k) とするとき, k のとり得る値の範囲を求めよ.

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【3】  -1< a<1 とする. 2 A ( 2,0) B ( -2,0 ) から半円 ( x-a) 2+ y2=1 y0 2 本の接線を引き,接点をそれぞれ C D とする.線分 AC 円弧 CD 線分 DB BA で囲まれた図形を x 軸のまわりに回転してできる立体の体積を a で表せ.

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【4】 関数

f( x)= x3+ ax2 +(b -a-1 )x

について次の問いに答えよ.

(1)  f( x) x 0 で増加するような点 ( a,b ) の範囲 G を図示せよ.

(2)  y0 における y =f (x ) の逆関数を x =f- 1 (y ) x0 とする.点 ( a,b ) G を動くとき,定積分

0b f-1 ( y) dy

の最小値を求めよ.

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【5】 さいころを 3 回振って出た目を a b c とする.このとき,方程式 x3-a x2 +bx -c=0 が少なくとも 1 個の整数解をもつ確率を求めよ.

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