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1991-10267-0101
1991 東京工業大学 前期
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 n を正の整数とする. 10 進法で表した n ! について, 1 の位から 10 m-1 の位までの数字がすべて 0 で, 10m の位の数字が 0 でないとき,関数 f ⁡(n ) の値を m とする.このとき,次の値を求めよ.
(1) f⁡( 10), f⁡( 100)
(2) limn →∞ f ⁡( 10n) 10n
1991-10267-0102
【2】 空間内の x y 平面上の直線 l をだ円 x2+ y 24 =1 ,z= 0 の接線とする.直線 l と点 ( 1 2, 1,1 ) を含む平面 π が z 軸と交わる点 Q を ( 0,0, k) とするとき, k のとり得る値の範囲を求めよ.
1991-10267-0103
【3】 -1< a<1 とする. 2 点 A ( 2,0) ,B ( -2,0 ) から半円 ( x-a) 2+ y2=1 , y≧0 に 2 本の接線を引き,接点をそれぞれ C ,D とする.線分 AC , 円弧 CD , 線分 DB , BA で囲まれた図形を x 軸のまわりに回転してできる立体の体積を a で表せ.
1991-10267-0104
【4】 関数
f⁡( x)= x3+ a⁢x2 +(b -a-1 )⁢x
について次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) が x ≧0 で増加するような点 ( a,b ) の範囲 G を図示せよ.
(2) y≧0 における y =f⁡ (x ) の逆関数を x =f- 1⁡ (y ) ( x≧0 ) とする.点 ( a,b ) が G を動くとき,定積分
∫ 0b f-1 ⁡( y)⁢ dy
の最小値を求めよ.
1991-10267-0105
【5】 さいころを 3 回振って出た目を a , b ,c とする.このとき,方程式 x3-a ⁢x2 +b⁢x -c=0 が少なくとも 1 個の整数解をもつ確率を求めよ.