1991　東京工業大学　後期MathJax

【１】　$10$進法表示の$n$桁の正の整数で，隣り合う桁の数字が互に相異なるような数の個数を$a_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_n$を求めよ．

(2)　上の数のうちで，$1$の位の数字が$0$である数の個数を$b_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}$を求めよ．

【２】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円$K$の内部に，一辺の長さが$2$で対角線の交点が$\mathrm{O}$となるような正方形$\mathrm{ABCD}$をとる．$K$上の点$\mathrm{P}$において，線分$\mathrm{PO}$と角$\theta$で交わる$2$本の半直線を引く．このとき，$\mathrm{P}$が$K$上どのような位置にあっても，これら$2$本の半直線が正方形$\mathrm{ABCD}$を通るような$\theta$の最大値を求めよ．