1991　一橋大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の$1$次変換$f$は，直線$y=-x+3$を自分自身にうつし，直線$y=3x-3$を直線$y=x+3$にうつす．

(1)　$f$を表す行列を求めよ．

(2)　$f$によって自分自身にうつされる直線をすべて求めよ．

【２】　曲線$y=x^3-x$の接線で点$(a,b)$を通るものがちょうど$2$本存在する．

(1)　$a\text{，}b$の満たすべき条件を求めよ．

(2)　その$2$本の接線が直交するときの$a\text{，}b$の値を求めよ．

【３】　放物線$y=x^2$上の動点$\mathrm{P}$は，点$\mathrm{A}(1,1)$と点$\mathrm{B}(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}})$との間を動く．

(1)　$▵\mathrm{APB}$の面積が最大になるときの$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．

(2)　$\angle \mathrm{APB}$の大きさが最小になるときの$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．

【４】　関数$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}{f}_3(x)\text{，}\cdots$を次のように定める．

$f_1(x)=x+2\text{，}{f}_{n+1}(x)=3{\displaystyle {\int }_0^x}{f}_n(t)dt-(x-1)f_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$f_n(x)=a_n{x}^2+b_{n}x+2$と表せることを示せ．

(2)　$a_n\text{，}{b}_n$を$n$で表せ．

【５】　袋の中に番号$0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1$のついた札がそれぞれ$1$枚ずつはいっている．この袋から$2$枚の札を取出したとき，それらの札の番号の和を$n$で割った余りが$k$である確率を求めよ．ただし，$n\geqq 2\text{，}0\leqq k\leqq n-1$とする．