1991　一橋大学　後期MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 1-a& 1-b\end{array}\right)$に対し，$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．

(1)　$a_n+c_n=b_n+d_n=1$を示せ．

(2)　$a_n-b_n={(a-b)}^n$を示せ．

(3)　$a-b\ne 1$のとき，$a_n$を$a\text{，}$$b\text{，}$$n$で表せ．

【２】　$x$は$0$でない実数とする．

(1)　$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$が整数ならばすべての正の整数$n$に対して$x^n+{\displaystyle \frac{1}{x^n}}$も整数であることを示せ．

(2)　$x-{\displaystyle \frac{1}{x}}$が$0$以外の整数ならば$x^2-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$は整数でないことを示せ．

【３】　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$の接線と放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$との交点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めよ．

【４】　空間内に定点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$があり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=4$である．$3$つの条件

(イ)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\leqq 4$

(ロ)　$4\leqq \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}\leqq 8$

(ハ)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}\leqq 2\sqrt{2}\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$

を同時に満たす点$\mathrm{P}$の存在する範囲の体積を求めよ．ただし，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$はベクトルの長さを表し，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$はベクトルの内積を表す．

【５】　$4$人の子供がいて，それぞれが，$1$番から$n$番までの番号のついた$n$枚の札を持っている．ひとりずつ自分の持っている札のうちから$1$枚を取り出して机の上に置く．

(1)　机の上の$4$枚の札の番号がすべて異なる確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$より大きくなるような$n$の範囲を求めよ．

(2)　机の上の$4$枚の札の番号が$2$種類である確率が${\displaystyle \frac{1}{7}}$より大きくなるような$n$の範囲を求めよ．