1991　横浜国立大学　B日程MathJax

【１】　$a_n=3n-2\text{，}{b}_n=4n+1\text{，}{c}_n=7n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$で定義される$3$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}\text{，}\{c_n\}$のどれにもあらわれる値のうち，$1000$以下となるものの個数を求めよ．

【２】　$xy$平面上の曲線

$y=2x^3-(a+2)x^2+ax\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$

と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．ただし，$a$は実数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S(a)$を求めよ．

(2)　$S(a)$を最小にする$a$の値と$S(a)$の最小値を求めよ．

【３】　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$6\leqq 3(\sin x+\cos y)+4(\cos x+\sin y)\leqq 10$

【４】　$xyz$空間に$2$平面

$\alpha :x+y-2z-1=0$

$\beta :2x-y-z+4=0$

と直線

$l:{\displaystyle \frac{x-3}{2}}={\displaystyle \frac{y-4}{2}}=-z$

がある．次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$と$\beta$の交線$m$の方程式を求めよ．

(2)　$l$と$\alpha$の交点を$\mathrm{A}\text{，}l$と$\beta$の交点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が(1)で求めた直線$m$上を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積の最小値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}y={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$のとき，

$|\sin (x+y)|\text{，}\sin x+\sin y\text{，}2\sin {\displaystyle \frac{x+y}{2}}$

の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$0<x<y<\pi$のとき，不等式

$|\sin (x+y)|<\sin x+\sin y<2\sin {\displaystyle \frac{x+y}{2}}$

が成り立つことを証明せよ．

【２】　$xyz$空間内に$2$直線

$l:{\displaystyle \frac{x-1}{3}}=y-1={\displaystyle \frac{z-2}{5}}$

$m:x-4=y-3=z$

がある．次の問いに答えよ．

(1)　$l$と$m$が同一平面上にあるかどうかを理由をつけて答えよ．

(2)　$l$上の点$\mathrm{P}$と$m$上の$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$で正三角形$\mathrm{PQR}$をつくるとき，その面積が最小になるときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【３】　$xy$平面上の$1$次変換$f$がある．$f$によって点$(4,1)$は点$(10,4)$にうつり，合成変換$f\circ f$によって点$(4,1)$は点$(-2,-2)$にうつる．次の問いに答えよ．

(1)　$f$を表す行列を求めよ．

(2)　直線$l$上の任意の点は$f$によって$l$上にうつる．このような$l$をすべて求めよ．

【４】　$xy$平面上の曲線

$C:y=x^3+(a-3)x^2+(4-2a)x$

について，次の問いに答えよ．

(1)　定数$a$がどんな値であっても，$C$は原点$\mathrm{O}$と異なる定点$\mathrm{A}$を通ることを示し，$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(2)　$|a|<1$のとき，直線$\mathrm{OA}$と$C$で囲まれた部分の面積を$a$の式で表せ．

【１】　$xy$平面上の曲線

$C_a:y=x^3+(a-1)x^2-2ax-3$

は，定数$a$がどんな値であっても$2$つの定点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　$l$と$C_a$の交点がすべて線分$\mathrm{AB}$上にあるように$a$の範囲を定めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた範囲を動くとき，$l$と$C_a$とで囲まれた部分の面積$S(a)$の最小値を求めよ．

【３】　$xyz$空間内に$4$直線

$l_1:x=1\text{，}z=0$

$l_2:x=0\text{，}y=1$

$l_3:y=0\text{，}z=1$

$l_4:x={\displaystyle \frac{y}{-2}}=-z$

がある．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}(1,t,0)$を通り，$l_4$を含む平面$S$の方程式を求めよ．

(2)　$S$が$l_2\text{，}{l}_3$と交わるとき，それぞれの交点の座標を求めよ．

(3)　$4$直線$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3\text{，}{l}_4$すべてと交わる直線$l$の方程式を求めよ．

【４】　関数

$f(x)=[2x]-2[x]\text{（}x\geqq 0\text{）}$

がある．ただし，$[x]$は，$x$をこえない最大の整数を表す．次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフを描け．

(2)　$y=\{1-f(x)\}\sin 2\pi x$のグラフを描け．

(3)　$a_n={\displaystyle {\int }_0^n}\{1-f(x)\}{e}^{-x}\sin 2\pi xdx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【５】　平面上に半径$1$と半径$2$の同心円$S_1\text{，}{S}_2$があり，$S_2$の円周を$n$等分する．これら$n$等分点から異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点でつくられる三角形の$3$つの辺のうち$S_1$と交わるか接するものが$2$つ以上ある場合の数を$X_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$X_6$を求めよ．

(2)　$k$を正の整数とするとき，$X_{3k}$を求めよ．