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1991-10321-0101
1991 新潟大学 前期
教育,理(数学,物理学科),工学部
理(数学,物理学科),工学部では【5】
易□ 並□ 難□
【1】 三角形 OAB の辺 AB の中点を C とし, OD→ =2 5⁢ OC → となる点 D をとる. D を通る直線が辺 OA , OB とそれぞれ点 O 以外の点 P , Q で交わっているものとする.このとき, OA→ =a→ , OB→ =b→ , OP→ =h⁢ a→ , OQ →=k ⁢b→ として,次の問いに答えよ.
(1) 1 h+ 1k= 5 であることを示せ.
(2) | a→ |= 1 , | b→ |= 7 , | AB→ |= 3 , OA⊥ PQ のとき, h と k の値を求めよ.
1991-10321-0102
教育,理,医,歯,工学部
理,医,歯,工学部では【1】
【2】 原点を O とする座標平面上の 1 次変換が行列 ( ab b1 -a ) で表されるものとする.平面上のすべての点が f で直線 l :y=m ⁢x 上に移るとき,次の問に答えよ.
(1) a ,b を m を用いて表せ.
(2) 直線 l 上にない任意の点 A と点 B =f⁡( A) について, AB⊥OB であることを示せ.
(3) m=1 のとき,曲線 y= x2 +1 上の点 A , 点 B =f⁡( A) および原点 O のつくる三角形 OAB の面積は点 A の位置に関係なく,つねに一定であることを示せ.
1991-10321-0103
教育学部
【3】 数列 { an} が, a1= 6, an+ 1=2 ⁢an +2n +2 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯) をみたすとき,次の問に答えよ.
(1) 一般項 a n を求めよ.
(2) ∑ n=1 m⁡ an を求めよ.
1991-10321-0104
教育,経済,農学部
経済,農学部では【1】
【4】 0≦a≦ 2 とする.曲線 y= x⁢( x-a) ⁢(x -2) と x 軸とで囲まれた図形の面積を S として,次の問に答えよ.
(1) S を求めよ.
(2) S が最小および最大になるときの a の値と S の値を求めよ.
1991-10321-0105
経済,農学部
【2】 整数の数列 { an} ,{ bn} が, n=1 ,2 ,3 ,⋯ について an>0 , 0≦b n≦4 および 5 ⁢an +bn =2n +3n をみたすとき,次の問に答えよ.
(1) b1 ,b2 , b3 ,b4 を求めよ.
(2) bn+ 4= bn であることを示し, bn を求めよ.
(3) 自然数 m について, S= ∑n =14 ⁢m ⁡an を求めよ.
1991-10321-0106
【3】 原点を O とする座標平面上に正三角形 OAB と点 C がある. OC⊥OA , OC=OA で,辺 OA に関して B と C は同じ側にある.辺 OA 上の点 P と C を結ぶ直線と辺 OB との交点を Q とする. OA→ =a→ , OC→ =b→ , OP→ =1 k⁢ a→ ( k> 1) として,次の問に答えよ.
(1) OB→ を a → ,b→ を用いて表せ.
(2) OQ→ を k ,a→ , b→ を用いて表せ.
(3) a→ =(x ,y) とするとき, OQ→ を k ,x ,y を用いて表せ.
(4) | OP→ | : | OQ→ |= 2:3 のとき, k の値を求めよ.
1991-10321-0107
【4】 3 個のサイコロを同時に投げて,出た目の数の和を X とするとき,次の問に答えよ.
(1) 5≦X≦ 16 である確率を求めよ.
(2) X=10 である確率と, X=11 である確率は等しいことを示せ.
(3) X の期待値を求めよ.
1991-10321-0108
理,医,歯,工学部
【2】 関数 f⁡ (x ) は x≧ 0 で連続で, x>0 で微分可能であり, f⁡( 1)= 1 , かつすべての x >0 に対して f ⁡(x )>0 をみたしている.
曲線 C: y=f⁡ (x) (x ≧0 ) 上の任意の点 P から x 軸へ引いた垂線の足を Q , 原点を O とする.曲線 C , x 軸, y 軸および線分 PQ によって囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を U , 三角形 OPQ を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を V とする.このとき, P の位置に関係なくつねに U =2⁢V となるような f ⁡(x ) を求めよ.
1991-10321-0109
【3】 0<a+ b<1 であるとし,行列 A= ( a-a -b b) を用いて数列 { xn} ,{ yn} を
( x1 y1 )= ( 10 ) ,( xn +1 yn +1 )=A ⁢( xn yn )+ ( 11 ) (n =1 ,2 ,3 ,⋯ )
により定める.このとき,次の問に答えよ.
(1) 第 n 項 x n ,yn ( n≧ 2) を求めよ.
(2) dn で平面上の点 ( xn, yn) と ( xn+1 ,y n+1 ) を結ぶ線分の長さを表すとき, ∑n= 1∞ ⁡dn を求めよ.
1991-10321-0110
【4】 1 つの袋の中に 1 , 2 ,3 ,⋯ ,n までの番号が書かれたカードが,それぞれ 2 , 22 , 23 , ⋯ ,2 n 枚ずつ入っている.この袋の中から 1 枚のカードをとりだし,その番号を X とするとき,次の問に答えよ.
(1) 番号 k について, X=k である確率を求めよ.
(2) X の期待値 E⁡ (X ) を求めよ.
(3) X の分散 V⁡ (X ) を求めよ.
1991-10321-0111
理(数学科)
【6】 t を変数とする関数 f⁡ (t ) と g⁡ (t ) が微分可能で,
f′⁡ (t) =g⁡( t)+ 2⁢cos⁡ t, g′⁡ (t) =f⁡( t)+4 ⁢cos⁡t ,
f⁡( 0)= -2 ,g⁡( 0)= -1
をみたしているとき,次の問に答えよ.
(1) F⁡( t)= e-t ⁢( f⁡( t)+ g⁡( t)) ,G⁡( t)= et⁢ (f⁡ (t) -g⁡( t)) とおくとき, F′ ⁡(t ), G′ ⁡(t ) を求めよ.
(2) f⁡( t) ,g⁡ (x ) を求めよ.
(3) 曲線 { x= f⁡( t) y=g⁡ (t) 上の点 P と原点 O を結ぶ線分の長さの最大値と最小値を求めよ.