1991 新潟大学 前期MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

1991 新潟大学 前期

教育,理(数学,物理学科),工学部

理(数学,物理学科),工学部では【5】

易□ 並□ 難□

【1】 三角形 OAB の辺 AB の中点を C とし, OD =2 5 OC となる点 D をとる. D を通る直線が辺 OA OB とそれぞれ点 O 以外の点 P Q で交わっているものとする.このとき, OA =a OB =b OP =h a OQ =k b として,次の問いに答えよ.

(1)  1 h+ 1k= 5 であることを示せ.

(2)  | a |= 1 | b |= 7 | AB |= 3 OA PQ のとき, h k の値を求めよ.

1991 新潟大学 前期

教育,理,医,歯,工学部

理,医,歯,工学部では【1】

易□ 並□ 難□

【2】 原点を O とする座標平面上の 1 次変換が行列 ( ab b1 -a ) で表されるものとする.平面上のすべての点が f で直線 l :y=m x 上に移るとき,次の問に答えよ.

(1)  a b m を用いて表せ.

(2) 直線 l 上にない任意の点 A と点 B =f( A) について, ABOB であることを示せ.

(3)  m=1 のとき,曲線 y= x2 +1 上の点 A B =f( A) および原点 O のつくる三角形 OAB の面積は点 A の位置に関係なく,つねに一定であることを示せ.

1991 新潟大学 前期

教育学部

易□ 並□ 難□

【3】 数列 { an} が, a1= 6 an+ 1=2 an +2n +2 n=1 2 3 をみたすとき,次の問に答えよ.

(1) 一般項 a n を求めよ.

(2)  n=1 m an を求めよ.

1991 新潟大学 前期

教育,経済,農学部

経済,農学部では【1】

易□ 並□ 難□

【4】  0a 2 とする.曲線 y= x( x-a) (x -2) x 軸とで囲まれた図形の面積を S として,次の問に答えよ.

(1)  S を求めよ.

(2)  S が最小および最大になるときの a の値と S の値を求めよ.

1991 新潟大学 前期

経済,農学部

易□ 並□ 難□

【2】 整数の数列 { an} { bn} が, n=1 2 3 について an>0 0b n4 および 5 an +bn =2n +3n をみたすとき,次の問に答えよ.

(1)  b1 b2 b3 b4 を求めよ.

(2)  bn+ 4= bn であることを示し, bn を求めよ.

(3) 自然数 m について, S= n =14 m an を求めよ.

1991 新潟大学 前期

経済,農学部

易□ 並□ 難□

【3】 原点を O とする座標平面上に正三角形 OAB と点 C がある. OCOA OC=OA で,辺 OA に関して B C は同じ側にある.辺 OA 上の点 P C を結ぶ直線と辺 OB との交点を Q とする. OA =a OC =b OP =1 k a k> 1 として,次の問に答えよ.

(1)  OB a b を用いて表せ.

(2)  OQ k a b を用いて表せ.

(3)  a =(x ,y) とするとき, OQ k x y を用いて表せ.

(4)  | OP | : | OQ |= 2:3 のとき, k の値を求めよ.

1991 新潟大学 前期

経済,農学部

易□ 並□ 難□

【4】  3 個のサイコロを同時に投げて,出た目の数の和を X とするとき,次の問に答えよ.

(1)  5X 16 である確率を求めよ.

(2)  X=10 である確率と, X=11 である確率は等しいことを示せ.

(3)  X の期待値を求めよ.

1991 新潟大学 前期

理,医,歯,工学部

易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x ) x 0 で連続で, x>0 で微分可能であり, f( 1)= 1 かつすべての x >0 に対して f (x )>0 をみたしている.

 曲線 C: y=f (x) x 0 上の任意の点 P から x 軸へ引いた垂線の足を Q 原点を O とする.曲線 C x 軸, y 軸および線分 PQ によって囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を U 三角形 OPQ x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を V とする.このとき, P の位置に関係なくつねに U =2V となるような f (x ) を求めよ.

1991 新潟大学 前期

理,医,歯,工学部

易□ 並□ 難□

【3】  0<a+ b<1 であるとし,行列 A= ( a-a -b b) を用いて数列 { xn} { yn}

( x1 y1 )= ( 10 ) ( xn +1 yn +1 )=A ( xn yn )+ ( 11 ) n =1 2 3

により定める.このとき,次の問に答えよ.

(1) 第 n x n yn n 2 を求めよ.

(2)  dn で平面上の点 ( xn, yn) ( xn+1 ,y n+1 ) を結ぶ線分の長さを表すとき, n= 1 dn を求めよ.

1991 新潟大学 前期

理,医,歯,工学部

易□ 並□ 難□

【4】  1 つの袋の中に 1 2 3 n までの番号が書かれたカードが,それぞれ 2 22 23 2 n 枚ずつ入っている.この袋の中から 1 枚のカードをとりだし,その番号を X とするとき,次の問に答えよ.

(1) 番号 k について, X=k である確率を求めよ.

(2)  X の期待値 E (X ) を求めよ.

(3)  X の分散 V (X ) を求めよ.

1991 新潟大学 前期

理(数学科)

易□ 並□ 難□

【6】  t を変数とする関数 f (t ) g (t ) が微分可能で,

f (t) =g( t)+ 2cos t g (t) =f( t)+4 cost

f( 0)= -2 g( 0)= -1

をみたしているとき,次の問に答えよ.

(1)  F( t)= e-t ( f( t)+ g( t)) G( t)= et (f (t) -g( t)) とおくとき, F (t ) G (t ) を求めよ.

(2)  f( t) g (x ) を求めよ.

(3) 曲線 { x= f( t) y=g (t) 上の点 P と原点 O を結ぶ線分の長さの最大値と最小値を求めよ.

inserted by FC2 system