1991　名古屋大学　前期MathJax

【１】　$4$次関数$y=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$のグラフが，$y$軸に平行なある直線に関して対称になるための係数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の間の関係式を求めよ．

【２】　$a^2>b$をみたす点$\mathrm{A}(a,b)$から曲線$y=x^2$へ$2$本の接線を引き，その接点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とおく．曲線$y=x^2$の弧$\mathrm{PQ}$上に点$\mathrm{R}$を$▵\mathrm{PQR}$の面積が最大となるようにえらぶ．このとき，

(1)　点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{PQR}$の面積$S$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

【３】　実数の集合${\mathrm{A}}_n$を${\mathrm{A}}_n=\{x|n<x^n<n+1\}$によって定める．集合${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n$の共通部分${\mathrm{A}}_1\cap {\mathrm{A}}_2\cap \cdots \cap {\mathrm{A}}_n$が空集合でない最大の$n$を求めよ．

【２】

$f(t)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|\cos x-t\sin x|dx$

とおく．

(1)　$\cos \theta =t\sin \theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}t>0)$のとき，$\sin \theta \text{，}\cos \theta$を$t$で表せ．

(2)　関数$f(t)$の$t>0$における最小値を求めよ．

【３】　関数$f_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を次によって定める．

$f_1(x)=x$，

$f_n(x)=x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{-x+y}{f}_{n-1}(y)dy\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f_2(x)$を求めよ．

(2)　$f_n(x)$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$を求めよ．

【４】(a)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}2$人がそれぞれくじのはいった箱を持っている．引いたくじはまた元の箱に戻すものとし，$\mathrm{A}$が当りくじを引く確率を$p\text{，}\mathrm{B}$が当りくじを引く確率を$q$とする．ただし，$0<p<1\text{，}0<q<1$とする．$\mathrm{A}$から始めて交互にくじをひき，$1$回目の当たりくじをどちらが引くかによらず，両者を通じて$2$回目の当たりくじを引いた人を勝ちとする．

　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の試行があわせて$2n$回に達するまでに$\mathrm{A}$が勝つ確率を$P_n(\mathrm{A})\text{，}\mathrm{B}$が勝つ確率を$P_n(\mathrm{B})$とする．

(1)　$P_2(\mathrm{A})\text{，}{P}_2(\mathrm{B})$を求めよ．

(2)　$P_n(\mathrm{A})$を求めよ．

【４】(b)　$\angle \mathrm{AOB}$を直角とする直角$3$角形$\mathrm{OAB}$上で玉突きをする．ただし各辺は，入射角と反射角が等しい完全反射をするものとし，玉の大きさは無視する．

　$\mathrm{A}$から打ち出された玉が各辺で$1$回ずつ当たって，$\mathrm{B}$に達することが出来るための$\angle \mathrm{OAB}$に対する条件を求めよ．