1991　京都大学　前期MathJax

【１】　$y$軸の点$\mathrm{P}(0,-p)\text{（}p>0\text{）}$と定点$\mathrm{A}(0,2)$に対し，$\mathrm{AP}$を直径とする円を$C$とする．点$\mathrm{Q}(s,t)\text{（}s\geqq 0\text{）}$を$\mathrm{PQ}\text{の中点}=\text{「}C\text{と直線}y=1\text{の交点」}$となるようにとる．

(1)　$s\text{，}t$を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$が$y$軸上の負の部分のすべてを動くとき，対応する$\mathrm{Q}$全体はどのような曲線になるか．また直線$\mathrm{PQ}$はこの曲線の，点$\mathrm{Q}$での，接線となっていることを示せ．

【２】　$a\text{，}b$は正の実数とする．円$C\text{：}{x}^2+{(y-a)}^2=1\text{，}$双曲線$H\text{：}{y}^2-x^2=b^2$を考える．$H$の上半分（$y$座標が正の部分）を$H_{+}\text{，}$下半分（$y$座標が負の部分）を$H_{-}$とする．

(1)　$C$が$H_{+}$と相異なる$2$点を共有し，かつ$H_{-}$とも相異なる$2$点を共有するような$(x,y)$の範囲を図示せよ．

(2)　$a\text{，}b$を適当にとれば，$C$が$H_{+}$と相異なる$4$点を共有するようにできるか否か，理由をつけて答えよ．

【３】　$3$組の対辺が互いに垂直であるような$4$面体$V$がある．このとき，$V$の各辺の中点は，$V$の重心を中心とするある$1$つの球面上にあることを示せ．

【４】　実数$p\text{，}q$に対し$x^3-px+q=0$の解がすべて実数なら（すなわち虚数解を持たないなら），$x^3-2p{x}^2+p^{2}x-q^2=0$の解もすべて実数であることを示せ．

【５】　袋の中に$N$個の白玉と$2$個の赤玉がある．「袋の中の$(N+2)$個の玉から無作為に$1$個を取り出し，つぎに（外部にある）白玉を$1$個袋に入れる」という試行をくり返す．

・$n$回目の試行で赤玉をとり出す確率を$P_n$とする．

・$n$回目の試行を行う前，袋の中に赤玉が$1$個あり，かつ$n$回目の試行で赤玉をとり出す確率を$P_n^{\prime }$とする．

・$n$回目の試行を行う前，袋の中に赤玉が$2$個あり，かつ$n$回目の試行で赤玉を取り出す確率を$P_n^{″}$とする．

　従って$P_n=P_n^{\prime }+P_n^{″}$が成立している．

(1)　$P_{n+1}^{\prime }\text{，}{P}_{n+1}^{″}$を$P_n^{\prime }\text{，}{P}_n^{″}$で表す式（漸化式）を求めよ．

(2)　$P_{n+1}$を$P_n$で表す式を求め，$P_n$を求めよ．

【２】　行列$\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 2\end{array}\right)$で表される$1$次変換を$f$とする．

(1)　$f$による全平面の像は直線$l\text{：}2x+y=0$であることを示せ．

(2)　平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$に対し，$l$上の点で$\mathrm{P}$との距離が最小となる点を$\mathrm{Q}$とし，$f$による像が$\mathrm{Q}$となる点のうちで，原点との距離が最小となる点を${\mathrm{P}}^{\prime }$とする．${\mathrm{P}}^{\prime }$の座標$(x^{\prime },y^{\prime })$を$x\text{，}y$で表せ．

(3)　点$\mathrm{P}(x,y)$に${\mathrm{P}}^{\prime }$$(x^{\prime },y^{\prime })$を対応させる写像を$g$とする．合成写像$f\circ g\circ f$および$g\circ f\circ g$を求めよ．

【４】　実数$a\text{，}b(0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}0\leqq b\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$に対し次の不等式の成り立つことを示せ．

$\sqrt{\tan a\cdot \tan b}\leqq \tan \left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(\tan a+\tan b)$

【５】　袋の中に$N$個の白玉と$3$個の赤玉がある．「袋の中の$(N+3)$個の玉から無作為に$1$個を取り出し，つぎに（外部にある）白玉を$1$個袋に入れる」という試行をくり返す．$n$回目の試行で赤玉をとり出す確率を$P_n$とする．また$n$回目の試行を行なう前，袋の中に赤玉が$i$個（$i=1\text{，}2\text{，}3$）あり，かつ$n$回目の試行で赤玉をとり出す確率を$P_{i,n}\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$とする．従って$P_n=P_{1,n}+P_{2,n}+P_{3,n}$である．

(1)　$P_{1,n+1}\text{，}{P}_{2,n+1}\text{，}{P}_{3,n+1}$を$P_{1,n}\text{，}{P}_{2,n}\text{，}{P}_{3,n}$で表す式（漸化式）を求めよ．

(2)　$P_{n+1}$を$P_n$で表す式を求め，$P_n$を求めよ．

【６】　関数$y=f(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$は次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たしている．

(ⅰ)　$f(x)$は微分可能で$f^{\prime }(x)$は連続，かつ$f(x)>0$

(ⅱ)　正の定数$a$があって${\displaystyle {\int }_0^x}{(f(t))}^{-a}dt={\displaystyle {\int }_a^{f(x)}}(e^{-\frac{t^2}{2}}+t^{-a})dt$

(1)　(ⅱ)の等式の両辺を$x$について微分して得られる（$y$の満たす）微分方程式を書け．また$f(0)$の値を求めよ．

(2)　正の定数$b\text{，}c$があって不等式(イ)，(ロ)を満たしていることを示せ．

(イ)　$b\leqq f^{\prime }(x)\leqq 1$

(ロ)　$0\leqq f(x)({\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(x)}}-1)\leqq c$

(3)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)$を求めよ．また$f^{\prime }(x)$の最小値を求めよ．