1991　神戸大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面上の直線$y=x$を$l$とし，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)をみたす，行列

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

で表される$1$次変換を$f$とする．

(ⅰ)　$l$上の任意の点は$f$によって動かない．

(ⅱ)　$l$に関して対称な任意の$2$点の$f$による像は$l$に関して対称である．

　このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$b\text{，}c\text{，}d$を$a$を用いて表せ．

(2)　だ円

$x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$

を原点を中心として正の向き（反時計回り）に$45°$回転した図形の$f$による像が円であるとき，$a$の値を求めよ．

【２】　$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．

　このとき，次の各問に答えよ．

(1)　

$\sqrt{2}<a_{n+1}<a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を示せ．

(2)　

$a_{n+1}-\sqrt{2}<{\displaystyle \frac{{(a_n-\sqrt{2})}^2}{2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を示せ．

(3)　

$|a_5-\sqrt{2}|<{10}^{-10}$

を示せ．ただし，

$1.41<\sqrt{2}<1.42$

を用いてよい．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に，$4$点$\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}\mathrm{B}(a,c,0)\text{，}\mathrm{C}(0,c,0)\text{，}\mathrm{P}(x,y,z)$をとる．ここで$a\text{，}c$は正の定数で，$z>0$とする．図のような，長方形$\mathrm{OABC}$を底面とする平行六面体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{PQRS}$を考える．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　直線$\mathrm{OR}$と三角形$\mathrm{QBS}$が直交する条件を求めよ．

(2)　(1)の条件のもとで，$z$がとりうる最大値を求めよ．

【４】　正の整数$n$と実数$a$に対して

$f_n(a)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(\cos x+a\sin 2nx)}^{2}dx$

とおく．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$f_n(a)$を求めよ．

(2)　$f_n(a)$を最小にする$a$の値を$a_n$とするとき

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{a_n}{n}}$

の値を求めよ．

【５】　図のように，たての長さ$1\text{，}$横の長さ$n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の長方形を，$1$辺の長さが$1$の正方形に分割した図形を考える．

　この図形の長さ$1$の各辺（${\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_{n-1}{\mathrm{A}}_n\text{，}{\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0\text{，}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n\text{，}{\mathrm{B}}_0{\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{B}}_{n-1}{\mathrm{B}}_n$）に赤または白の色をぬる．どちらの色をぬるかは，各辺ごとにさいころをふってきめ，偶数の目がでれば赤，奇数の目がでれば白とする．

　このとき，この図形の左端の点${\mathrm{A}}_0$または${\mathrm{B}}_0$から右端の点${\mathrm{A}}_n$に，赤い辺だけを伝って到達できる事象を$E$とする．また，左端の点${\mathrm{A}}_0$または${\mathrm{B}}_0$から右端の点${\mathrm{B}}_n$に，赤い辺だけを伝って到達できる確率を$F$とする．

　事象$E$の確率を$p_n\text{，}E$と$F$がともに起こる事象の確率を$q_n$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$p_1$および$q_1$の値を求めよ．

(2)　$p_n$および$q_n\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$を$p_{n-1}$と$q_{n-1}$を用いて表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n=0$を示せ．