1991　神戸大学　後期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$k$を定数とする．点$(3,1)$に行列

$\left(\begin{array}{cc}k& -1\\ 0& {\displaystyle \frac{k}{2}}\end{array}\right)$

で表される$1$次変換を$n$回（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）くり返し行ってえられる点を$(x_n,y_n)$とする．

　このとき，$x_n$および$y_n$を$k$と$n$を用いて表せ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　$f(\theta )={\displaystyle {\int }_0^2}(3x^2+2x{\cos }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}+\sin \theta )dx$とおく．$0\leqq \theta <\pi$のとき，$f(\theta )$のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　座標空間内の$2$つの直線

$x-4=y=z-3$

$-{\displaystyle \frac{x-3}{2}}=y-2={\displaystyle \frac{z+4}{4}}$

に平行で，これらの$2$つの直線から等距離にある平面の方程式を求めよ．

【３】　$xy$平面上の曲線

$C:y=x^3-{\displaystyle \frac{5}{3}}x$

について，次の各問に答えよ．

(1)　$x$座標が$t$である曲線$C$上の点$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C$の接線と直交する直線（$\mathrm{P}$における曲線$C$の法線という）の方程式を求めよ．

(2)　(1)の法線が曲線$C$と接するような$t$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた値のうち正のものを$t_1\text{，}{t}_2\text{（}0<t_1<t_2\text{）}$とし，$x$座標が$t_1\text{，}{t}_2$である曲線$C$上の点をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$とする．また${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$における曲線$C$の法線と$C$との接点をそれぞれ${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2$とする．このとき，$2$つの線分${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{P}}_2$および曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　$a_1=1\text{，}{a}_2=2\text{，}{a}_{n+2}=\sqrt{a_n{a}_{n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を$n$を用いて表せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３】　$xy$平面上の$2$つの曲線

$C_1:y=e^{x^2}\text{（}x\geqq 0\text{）}$

$C_2:y=-{\displaystyle \frac{2e}{x}}+a\text{（}x>0\text{）}$

について，次の各問に答えよ．ここで，$e$は定数：$\underset{h\to 0}{\lim }{(1+h)}^{\frac{1}{h}}$であり，$a$は実数とする．

(1)　$C_1$と$C_2$が接するような$a$の値を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$が接しているとき，$C_1\text{，}{C}_2\text{，}y$軸および直線$y=-b\text{（}b>0\text{）}$で囲まれた部分を$y$軸の回りに$1$回転してできる回転体の体積を$V\left(b\right)$とする．

$\underset{b\to \infty }{\lim }V(b)$

の値を求めよ．

【４】　定数$a$に対して，等式

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt+{\displaystyle {\int }_0^a}tf(t)dt+x$

をみたすような微分可能な関数$f(x)$があれば，それを求めよ．

【５】　$11$個のボールが$11$個の箱にいくつかずつ，でたらめにはいっている．空の箱がちょうど$2$個であることがわかっているときに，残りのどれかの箱に$3$個のボールがはいっている条件つき確率を求めよ．