1991　岡山大学　前期MathJax

【１】　空間に方程式$x^2+y^2+z^2=9$で表される球面$S$がある．

(1)　$S$上の$3$点$(2,2,1)\text{，}(-2,1,2)\text{，}(0,0,3)$を通る平面$\alpha$の方程式を求めよ．

(2)　$\alpha$による$S$の切り口の円を$C$とする．$C$上の点から$xy$平面に下した垂線の足が$xy$平面上にえがく図形の方程式を求めよ．

(3)　$C$上の任意の点における$S$の接平面が通る定点$\mathrm{P}$を求めよ．

【２】　自然数$n$に対して

$a_n={\displaystyle \frac{2}{1^n}}+{\displaystyle \frac{3}{2^n}}+{\displaystyle \frac{4}{3^n}}+\cdots +{\displaystyle \frac{n+1}{n^n}}$

とおく．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$を求めよ．

(2)　$a_n$が最大となる$n$を求めよ．

【３】　$k$は実数とし，行列$A=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ 1& p\end{array}\right)$は

$A^2+2kA-E=O$

をみたしている．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とする．

(1)　$p\text{，}q$を$k$を用いて表せ．（答だけでよい．）

(2)　$A$で表される$1$次変換によって，$y$軸に平行でない直線$l$がそれ自身にうつされるとき，$l$の方程式を求めよ．

(3)　$k=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上を動くものとする．$A^3$で表される$1$次変換により$\mathrm{P}$がうつされる点を$\mathrm{Q}$とするとき，${\mathrm{OQ}}^2$の最大値を求めよ．

【４】　関数$f(x)$は次の条件をみたす$3$次関数とする．

$\text{①}y=f^{\prime }(x)$のグラフは放物線$y=3x^2$を平行移動したもので，$x$軸と$2$点$(\alpha ,0)\text{，}(\beta ,0)\text{（}\alpha <\beta \text{）}$で交わる．

$\text{②}f(x)$は極小値$0$をもつ．

(1)　$f(x)$を$\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

(2)　二つの集合を

$\mathrm{A}=\{(x,y)|0\leqq x\leqq 4,0\leqq y\leqq 4\}$

$\mathrm{B}=\{(x,f(x))|0\leqq x\leqq 4\}$

とする．$\alpha \text{，}\beta$が条件$0<\alpha <\beta <4$をみたすとき

$\mathrm{A}\supset \mathrm{B}$

となる$(\alpha ,\beta )$を求めよ．

【１】　空間に$2$点$\mathrm{A}(1,2,3)\text{，}\mathrm{B}(1,-2,5)$をとる．$\mathrm{A}$を中心とする半径$2$の球面を$S$とする．$S$上の点$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$が直交するように動くものとする．

(1)　$\mathrm{P}$を含む平面$\alpha$の方程式を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{BP}$の延長線と$xy$平面との交点$\mathrm{Q}(x,y,0)$のえがく図形の方程式を求めよ．

【２】　関数$f_n(x)$を

$f_1(x)=|x^2-1|$

$f_n(x)=\left|\right|f_{n-1}(x)-1|-1|\text{（}n\geqq 2\text{）}$

によって定義する．

(1)　曲線$y=f_2(x)$のグラフをかけ．

(2)　$f_n(x)=0$となる$x$を求めよ．（答だけでよい．）

(3)　曲線$y=f_n(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S_n$とする．このとき，$S_n-S_{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$を$n$を用いて表せ．

【３】　曲線$C$を

$y=e^{-x}$

とする．また$C$上の点$\mathrm{P}(\alpha ,\beta )$において，$C$と共通の接線をもち，かつ$x$軸に接する二つの円を$S_1\text{，}{S}_2\text{，}$それぞれの円の中心を${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$は$C$上を自由に動くものとする．$2$点${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2$の間の距離の最小値を求めよ．

(2)　線分${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$の中点を$\mathrm{M}(x,y)$とする．点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{M}$のえがく曲線の方程式を$x\text{，}y$を用いて表せ．

【４】　$xy$平面上に定点$\mathrm{A}(1,0)$をとる．次の規則にしたがって点列${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots$を選ぶ．

　${\mathrm{P}}_0$は原点とする．

　${\mathrm{P}}_1$は等しい確率で次の$2$点のうちいずれか一方を選ぶ．

　${\mathrm{P}}_{n-1}$まで選ばれたとする．${\mathrm{P}}_n$は等しい確率で次の$2$点のうちいずれか一方を選ぶ．

　また，${\mathrm{P}}_0$より${\mathrm{P}}_n$までの折れ線の長さ

${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1+{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2+\cdots +{\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$

の期待値を${\alpha }_n$とする．

(1)　${\mathrm{P}}_4$が$x\geqq 1$で表される領域に存在する確率を求めよ．

(2)　${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4\text{，}{\mathrm{P}}_5\text{，}{\mathrm{P}}_6$の少なくとも一つが$x$軸上に存在する確率を求めよ．

(3)　${\alpha }_3$を求めよ．

(4)　$n$を限りなく大きくするときの${\alpha }_n$の極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\alpha }_n$を求めよ．