1991　広島大学　前期MathJax

【１】　行列$\left(\begin{array}{cc}1& a\\ b& 2\end{array}\right)$で表される$1$次変換$f$によって，円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$上のすべての点が直線$y={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}x$上に移されているとする．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　円$C$の$f$による像が線分になることを示し，その長さを求めよ．

【２】　正の数の数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が

$S_n={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n(a_n+1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとき，一般項$a_n$を求めよ．

【３】　次の$4$つの条件を満たす$3$次関数$f(x)$を求めよ．

(ⅰ)　$x^3$の係数は$1$である．

(ⅱ)　$y=f(x)$のグラフは$x=1$で$x$軸に接している．

(ⅲ)　$y=f(x)$は$x={\displaystyle \frac{1}{3}}$で減少の状態にある．

(ⅳ)　曲線$y=f(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$と$x$軸および$y$軸で囲まれる部分の面積は${\displaystyle \frac{3}{4}}$である．

【４】　球面$S\text{：}{(x-2)}^2+{(y-1)}^2+z^2=2$上の点$\mathrm{P}(3,1,1)$を通り球面$S$に接する平面を$H$とする．点$\mathrm{P}$を通り，$H$に含まれかつ平面$4x+y+2z=4$に平行な直線の方程式を求めよ．

【５】　だ円$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a>b>0\text{）}$上の点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が右図のような位置関係で，$y\geqq 0$の範囲にあって，原点$\mathrm{O}(0,0)$に対して$\angle \mathrm{POQ}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たしているとする．点$\mathrm{A}(a,0)$に対して$\angle \mathrm{AOP}=\theta \text{，}\mathrm{OP}=r$とおくと，$\mathrm{P}$の座標は$(r\cos \theta ,r\sin \theta )$とかくことができる．

(1)　${\mathrm{OP}}^2$および${\mathrm{OQ}}^2$を$a\text{，}b$および$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$▵\mathrm{POQ}$の面積の最大値および最小値を求めよ．

【２】　関数$f(x)$が$f(x)=x^3-4x{\displaystyle {\int }_0^1}|f(t)|dt$を満たすとき，$f(x)$の極大値を求めよ．

【２】　平面上に異なる$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}{\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }$があって，直線$\mathrm{AB}$と直線${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$は平行ではなく，${\displaystyle \frac{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}{\mathrm{AB}}}=k$は$1$に等しくないとする．線分$\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }$を$1:k$の比に内分する点をそれぞれ$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}$また$1:k$の比に外分する点をそれぞれ$\mathrm{U}\text{，}\mathrm{V}$とする．

(1)　$X\ne \mathrm{Y}$かつ$\mathrm{U}\ne \mathrm{V}$を示せ．

(2)　直線$\mathrm{XY}$と直線$\mathrm{UV}$は直交することを示せ．

【４】　数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を

$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{k-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で与える．

(1)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(2)　$2^{n-1}>{\displaystyle \frac{1}{2}}(n^2-n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(3)　(2)を用いて$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=4$を示せ．

【５】　曲線

$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{{(x-1)}^2}}\text{（}0\leqq x<1\text{）}$

上を動く点$\mathrm{P}$を考える．$\mathrm{P}$から$x$軸に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の動く速度は，$C$と$x$軸，$y$軸および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積に$1$を加えたものの逆数に等しいものとする．

(1)　時刻$t=0$で$\mathrm{P}$が点$(0,1)$にいたとするとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$t$を用いて表せ．

(2)　時刻$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$における点$\mathrm{P}$の速さを求めよ．

【６】　$1$辺の長さが$1$の$3$つの正三角形$▵\mathrm{ABC}\text{，}▵\mathrm{DEF}\text{，}▵\mathrm{GHI}$を長さ$1$の辺で結んでできる図のような三角柱を考える．硬貨を投げて頂点から別の頂点へ移動するゲームを考える．ゲームの規則は次の$5$つの条件で定める．

(ⅰ)　出発点は$\mathrm{A}$である．

(ⅱ)　硬貨を投げて表がでれば，今いる頂点の属する正三角形上を時計回りにとなりの頂点に移動する．

(ⅲ)　硬貨を投げて裏が出れば，今いる頂点の$1$つ下の頂点に移動する．

(ⅳ)　$\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{I}$のどれかに到着したら，ゲームは終わるものとする．

(ⅴ)　$\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{I}$のどれかに到着するまでゲームは続けるものとする．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3$回目の移動で，ちょうど$\mathrm{H}$に到着してゲームが終わる確率を求めよ．

(2)　$n$回目の移動で，ちょうど$\mathrm{H}$に到着してゲームが終わる確率を求めよ．