1991　九州大学　前期MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 1\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& -\sqrt{3}\\ 1& 1\end{array}\right)$について次の問に答えよ．

(1)　$P^{-1}AP$を求めよ．

(2)　正整数$m$に対し，$A^m$を求めよ．

(3)　$x_1=y_1=1\text{，}{x}_{n+1}=x_n+3y_n\text{，}{y}_{n+1}=x_n+y_n\text{，}{r}_n={\displaystyle \frac{x_n}{y_n}}\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$とおく．このとき$r_{2n}>r_{2(n+1)}>\sqrt{3}$を示せ．

【２】　$xyz‐$空間内の図形$K$を不等式

$0\leqq x\leqq 1\text{，}y\geqq 0\text{，}z\geqq 0\text{，}y+z\leqq 1$

で定める．次の問に答えよ．

(1)　$K$の概形をかけ．

(2)　$K$を$z‐$軸のまわりに$1$回転させた回転体の体積を求めよ．

【３】　$n$を正整数とする．$y=nx$と$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$で囲まれる部分（境界を含む）の面積を$S_n\text{，}$その部分に含まれる格子点（$x‐$座標と$y‐$座標がともに整数の点）の個数を$N_n$とする．

(1)　$S_n$を$n$で表せ．

(2)　$N_1$と$N_2$を求めよ．

(3)　$N_n$を$n$で表せ．

【４】　$3$次関数$f(x)=x^3-2x+4$で定まる曲線を$C\text{：}y=f(x)$とする．

(1)　$C$上の点$(a,f(a))$における$C$の接線が$\mathrm{P}(b,0)$を通るとき，$a$と$b$の関係式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}(b,0)$から$C$へちょうど$2$本の接線が引けるような$b$の値を求めよ．

【２】　$xyz‐$空間で，$x‐$軸を中心とする円柱の内部

$T_1\text{：}{y}^2+z^2\leqq 1$

と，$y‐$軸を中心とする円柱の内部

$T_2\text{：}{x}^2+z^2\leqq 1$

の共通部分を$S$とする．次の問に答えよ．

(1)　$xy‐$平面に平行な平面$z=t\text{（}-1\leqq t\leqq 1\text{）}$による$S$の切り口はどのような図形か．

(2)　$S$の体積を求めよ．

【１】　$1$辺の長さ$x$の正方形$\mathrm{ABCD}$の中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{O}$を通りこの正方形に垂直な直線上に頂点$\mathrm{E}$をもつ四角錐$\mathrm{ABCDE}$を考える．

(1)　半径$1$の球がこの四角錐に内接しているとき，高さ$\overline{\mathrm{EO}}$を$x$で表せ．

(2)　(1)の四角錐の体積が最小となる$x$の値とその最小値を求めよ．

【２】　直線$L$は，$L$上の異なる$k$個（$k\geqq 1$）の点によって$P_1(k)=k-1$個の長さが有限な部分と$2$個の長さが有限でない部分に分かれる．平面$\Pi$上に$k$本の直線が，どの$2$本も平行でなく，どの$3$本も$1$点で交わらないように与えられている．$\Pi$はこれらの直線によって$P_2(k)$個の大きさが有限な部分と何個かの大きさが有限でない部分に分かれるとする．このとき次の問に答えよ．

(1)　$P_2(4)\text{，}{P}_2(5)$を求めよ．

(2)　$P_2(k)$と$P_2(k+1)$の関係式を求めよ．

(3)　$P_2(k)$を$k$で表せ．

【３】　$3$次関数$f(x)=x(x^2+px+q)$は$x=\alpha \text{（}\alpha \ne 0\text{）}$で極大値$0$をとり，$x=\beta$で極小値$-32$をとるとする．次の問に答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}p\text{，}q$を求めよ．

(2)　$f(x)$を$x‐$軸の正の方向へ$c\text{（}c>0\text{）}$だけ平行移動した関数を$g(x)$とするとき，$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる部分の面積を$c$で表せ．

【４】　数列$\{a_n\}$を$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n+{\displaystyle \frac{1}{a_n}})\text{，}n\geqq 1$で定めるとき，次の問に答えよ．

(1)　すべての$n$に対して$a_n>1$および$a_{n+1}<a_n$が成り立つことを示せ．

(2)　$a_3$の値を求めよ．また$n\geqq 3$のとき$a_{n+1}-1\geqq {\displaystyle \frac{20}{41}}{(a_n-1)}^2$が成り立つことを示せ．

(3)　$p_n=2^{n-3}$とし，$b_n={\displaystyle \frac{41}{20}}{\left({\displaystyle \frac{1}{82}}\right)}^{p_n}$とおく．$n\geqq 3$のとき，$a_n-1\geqq b_n$を示せ．

【５】

$f(x)=ax+e^{-x}\sin x\text{，}g(x)=e^{-x}(\cos x-\sin x)$

とする．

(1)　$y=g(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$のグラフの概形を描け．

(2)　$f(x)$が区間$0<x<2\pi$内で極値として極大値のみを$1$つだけもつとき，$a$の範囲を定めよ．