1992 大学入試センター試験 本試験 数学IIMathJax

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1992 大学入試センター試験 本試

数学II

配点50点

【1】〜【3】から2題選択

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】 座標平面上に 4

O(0 ,0) A( 3,0 ) B(1 ,2 3) C (1 a,3 (2 a) )

がある.ただし, a>0 とする.

(1)  BC = アイ ( 1, ) であるから, ABC= エオ ° である.

(2) 点 C から直線 AB に引いた垂線と直線 AB との交点を D とする.直線 CD 上の点を P とすると, OP は実数 s を用いて

OP =OC +s ( , )

と表される.また,直線 AB 上の点を Q とすると, OQ は実数 t を用いて

OQ =OA + t( クケ , )

と表される.このことから点 D の座標は

( + , ( ) )

であることがわかる.

(3)  ABC が正三角形になるのは, a= のときである.このとき, ABC の外接円の中心の座標は ( , ) である.

(4)  BC AC が垂直になるのは, a= のときである.このとき, A B C はある正六角形の三つの頂点になる.この正六角形の残りの三つの頂点の座標は, x 座標の値の小さいものから順に並べると,

である.

1992 大学入試センター試験 本試

数学II

〔2〕と合わせて配点50点

【1】〜【3】から2題選択

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

〔1〕 初項 4 公比 8 の等比数列の第 n 項までの和を S n で表す.このとき,

Sn= k( n 1) k=

である. 0<k <1 であるから,整数 S n は有理数 q =k n の整数部分に等しい.

log10 q=( n+ )log 102 log10

であるから, S99 カキ けたの整数, S100 クケ けたの整数である.ただし,

log10 2=0.30103 log10 3=0.47712 log10 7=0.84510

とする.

1992 大学入試センター試験 本試

数学II

〔1〕と合わせて配点50点

【1】〜【3】から2題選択

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

〔2〕  0<a 1 とする.座標平面上に 3 A (0, a) B( 0,a 1) C( 1,a) が与えられているとき, ABC x 軸のまわりに回転して得られる立体の体積を V (a) とする.

(1)  1 2 a1 の場合に, V( a) の最小値を求めよう.半径 の円を底面とする高さ の円柱の体積から,同じ円を底面とする高さ の円すいの体積を引いたものが V (a) に等しいから,

V(a )= π a23 ( )

である.このとき, V( a) の最小値は タチ π である.

(2)  0<a < 12 の場合, ABC 0 x< 12 a の部分および 1 2 ax 1 の部分を回転して得られる立体の体積をそれぞれ V 1( a) V2 (a ) とすると,

である. V( a)=V 1( a)+V 2( a) であるから,この場合, V( a) a = のとき最小値 ヘホ π をとる.

1992 大学入試センター試験 本試

数学II

配点50点

【1】〜【3】から2題選択

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】〔1〕 スイッチを入れると赤色または青色で点滅する電灯がある.最初の発色が赤である確率は 12 青である確率も 12 とする. 2 回目以降は,赤色につづいて赤に発色する確率は 13 青に発色する確率は 23 また青色につづいて赤に発色する確率は 35 青に発色する確率は 25 であるとする.

(1)  2 回目の発色が赤である確率は イウ である.

(2)  3 回発色するとき,赤が 1 回,青が 2 回である確率は エオ カキ である.

(3)  5 回発色するとき,二つの色が交互に発色する確率は ケコ である.

〔2〕 袋の中に, 1 から 6 までの数字が書いてある球が, 2 個ずつ合計 12 個ある.この中から 3 個の球を同時に取り出す.取り出した球の数字について考える.

(1) 三つの数の和が 5 である確率は シス である.

(2) 三つの数のうち最も大きい数が 4 である確率は ソタ である.

(3) 三つの数の積が偶数である確率は チツ テト である.

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