1992　大学入試センター試験　追試験　数学IMathJax

【１】　$2$次の整式$f(x)\text{，}$$3$次の整式$g(x)\text{，}$$4$次の整式$h(x)$があり，$f(x)$の$x^2$の係数は$1\text{，}$$h(x)$の$x^4$の係数は$2$である．$g(x)$と$h(x)$はともに$f(x)$で割り切れるとする．

(1)　方程式$f(x)=0$の解は$1+\sqrt{2}i\text{，}$$1-\sqrt{2}i$であるとする．ただし，$i$は虚数単位である．このとき，

$f(x)=x^2-\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}}$

である．

(2)　さらに，$g(\mathrm{-1})=24\text{，}$$g(1)=4$とすると，方程式$g(x)=0$はただ一つの実数解$x=\boxed{\text{ウ}}$をもち，

$g(x)=\boxed{\text{エ}}{x}^3+\boxed{\text{オ}}{x}^2-\boxed{\text{カ}}x+\boxed{\text{キ}}$

となる．

(3)　さらに，$5$次の整式

$p(x)=2x^5-11x^4+20x^3+a{x}^2+bx+c$

が$g(x)$で割り切れるとする．このとき，

$a=-\boxed{\text{クケ}}\text{，}$$b=-\boxed{\text{コサ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{シス}}$

である．また，$g(x)h(x)$が$p(x)$で割り切れるとすると，

$h(x)=(\boxed{\text{セ}}x-\boxed{\text{ソ}})(x+\boxed{\text{タ}})f(x)$

となる．

【２】　$f(x)=2x^2\text{，}$$g(x)=-x^2+6ax-9a^2+a+1$とおく．二つの放物線$C_1:y=f(x)$と$C_2:y=g(x)$は二つの交点をもつとする．

(1)　このとき，$a$のとる値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}<a<\frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

である．

(2)　$k$を$\mathrm{-1}$でない定数とするとき，

$C_3:y={\displaystyle \frac{f(x)+kg(x)}{1+k}}$

は，$k=\boxed{\text{カ}}$のとき直線であり，$k\ne \boxed{\text{カ}}$のとき放物線である．そして$C_3$はつねに$C_1$と$C_2$の交点を通る．

(3)　$C_3$が$x$軸に接する放物線となるのは$k=\boxed{\text{キ}}$または

$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケコ}}}{a+1}}+\boxed{\text{サシ}}-\boxed{\text{スセ}}a$

のときである．

(4)　$C_1$と$C_2$の二つの交点を通る直線の方程式は

$y=\boxed{\text{ソ}}ax-\boxed{\text{タ}}{a}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}(a+\boxed{\text{テ}})$

である．

【３】

〔１〕　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(\mathrm{-4},3)\text{，}$$\mathrm{B}(4,\mathrm{-3})$と直線

$l:x+3y-15=0$

がある．

(1)　$l$上の$2$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$で$\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB}=90°$となるとき，点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の座標は

$\mathrm{C}(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})\text{，}$$\mathrm{D}(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})$

である．ただし，$\boxed{\text{ア}}>\boxed{\text{ウ}}$とする．このとき，

$\angle \mathrm{ABC}=\boxed{\text{オカ}}°$

である．

(2)　$l$上に点$\mathrm{P}$をとる．$▵\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標の値の範囲は

$-\boxed{\text{キ}}<x<\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}<x<\boxed{\text{コ}}$

である．

【３】

〔２〕　$m$を整数とする．座標平面上の点$(4m+1,0)$を中心として半径$1$の半円を$y\geqq 0$の部分にかき，点$(4m+3,0)$を中心として半径$1$の半円を$y\leqq 0$の部分にかく．このようにしてできる図形（$m=0\text{，}$$\mathrm{\pm 1}\text{，}$$\mathrm{\pm 2}\text{，}$$\cdots$ ）をつないで得られる曲線を$C$とする．

(1)　直線$y=ax$と$C$の共有点が$3$個以下であるための必要十分条件は

$a\leqq -{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}$または$a>{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セソ}}}}$

である．

(2)　$2\leqq b\leqq 3$の範囲内で，直線$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x+b$が$C$と二つの共有点をもつのは

$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}}$

のときである．