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1992 東北大学 前期

文系・理系共通

易□ 並□ 難□

【1】 行列 A =( ab cd ) B =( ac b d ) について,次の問に答えよ.

(1) 等式 A B=B A が成り立つとき, A の成分の間にはどのような関係があるか.

(2)  a= 35 のとき A B=B A=( 1 00 1 ) を満たす行列 A をすべて求めよ.

1992 東北大学 前期

文系・理系共通

易□ 並□ 難□

【2】 短針の長さが 1 長針の長さが 2 の時計がある.短針を a 長針を b とするとき,点 ( |a + b |, a b ) の動く範囲を求め,それを図示せよ.ただし | a +b | はベクトル a+ b の大きさ, a b はベクトル a と, b の内積を表す.

1992 東北大学 前期

文系

易□ 並□ 難□

【3】  2 つの放物線

y=3 x2- 4x+ 5

y=2 x2 +ax +b

と,点 ( 1,4 ) において放物線 に接する直線 l について,次の問に答えよ.

(1) 直線 l の方程式を求めよ.

(2) 直線 l が点 ( 1,4 ) において放物線 に接するように a b を定めよ.

(3) 放物線 と直線 l および y 軸で囲まれた図形の面積を S 1 とし,放物線 と直線 l および y 軸で囲まれた図形の面積を S 2 とする. S1 S 2 の比を求めよ.

1992 東北大学 前期

文系

易□ 並□ 難□

【4】 自然数 n 1 について, 2 種類のすべて相異なる命題 P (n ) Q (n ) がある.いま P (n ) が正しいならば, Q (n+1 ) が正しく, Q (n ) が正しいならば P (n +1) も正しいことが証明されたとする.このとき,次の問に理由をつけて答えよ.

(1)  P (1 ) が正しいとき, Q (10 ) は正しいといえるか.また P (10 ) はどうか.

(2) (1)の仮定に加えて,さらに Q (9 ) も正しいとき, P (n ) はどのような自然数に対して正しいといえるか.

1992 東北大学 前期

理系

易□ 並□ 難□

【3】 平面上を運動する点 P の座標 ( x,y ) が,時刻 t の関数として x =et sint y=e tcos t で与えられている.

(1) 点 P の時刻 t における速度を v とするとき,ベクトル v OP のなす角を求めよ.ただし O は原点を表す.

(2) 点 P が描く曲線の時刻 t における接線の傾きを f (t ) とするとき,次の積分を求めよ.

0π4 f (t) dt

1992 東北大学 前期

理系

易□ 並□ 難□

【4】 数直線上の点 Q が最初に原点にあるとする.サイコロを 2 回投げ,点 Q の位置を数直線上を正の向きに第 1 投の目の数だけ進め,負の向きに第 2 投の目の数だけ進める試行を考える.このときの点 Q の位置を確率変数 X とする.

(1)  X の確率分布を求めよ.

(2)  X の期待値 E ( X) と分散 V (X ) を求めよ.

(3) 上の試行を 6 回繰り返すとき点 Q 29 にある確率,および 28 にある確率をそれぞれ求めよ.

1992 東北大学 前期

理学部,工学部

易□ 並□ 難□

【5】  a b c をそれぞれ 1 より大きな数とする.

(1)  loga b a+log bc b+ logc ac >1 を示せ.

(2)  loga b a+log bc b+log ca c<2 を示せ.

(3)  loga b a+log bc b+log ca c= 32 となるための必要十分条件を求めよ.

1992 東北大学 前期

理学部,工学部

易□ 並□ 難□

【6】  x についての 3 次方程式

2x 3-3 ( a+b) x2 +6a bx -2a 2b =0

3 つの相異なる実数解をもつとする.このとき点 ( a,b ) の存在する範囲を求め,それを図示せよ.

文系・理系の学部・学科別

文系 文学部・教育学部・法学部・経済学部

理系 理学部・工学部・歯学部・薬学部・農学部・医学部

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