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1992-10081-0101
1992 東北大学 前期
文系・理系共通
易□ 並□ 難□
【1】 行列 A =( ab cd ) ,B =( ac b d ) について,次の問に答えよ.
(1) 等式 A ⁢B=B ⁢A が成り立つとき, A の成分の間にはどのような関係があるか.
(2) a= 35 のとき A ⁢B=B ⁢A=( 1 00 1 ) を満たす行列 A をすべて求めよ.
1992-10081-0102
【2】 短針の長さが 1 , 長針の長さが 2 の時計がある.短針を a→ , 長針を b → とするとき,点 ( |a →+ b→ |, a→ ⋅b→ ) の動く範囲を求め,それを図示せよ.ただし | a→ +b→ | はベクトル a→+ b→ の大きさ, a→ ⋅b → はベクトル a → と, b → の内積を表す.
1992-10081-0103
文系
【3】 2 つの放物線
y=3⁢ x2- 4⁢x+ 5⋯ ①
y=2 ⁢x2 +a⁢x +b ⋯ ②
と,点 ( 1,4 ) において放物線 ① に接する直線 l について,次の問に答えよ.
(1) 直線 l の方程式を求めよ.
(2) 直線 l が点 ( 1,4 ) において放物線 ② に接するように a , b を定めよ.
(3) 放物線 ① と直線 l および y 軸で囲まれた図形の面積を S 1 とし,放物線 ② と直線 l および y 軸で囲まれた図形の面積を S 2 とする. S1 と S 2 の比を求めよ.
1992-10081-0104
【4】 自然数 n ≧1 について, 2 種類のすべて相異なる命題 P ⁡(n ), Q ⁡(n ) がある.いま P ⁡(n ) が正しいならば, Q⁡ (n+1 ) が正しく, Q⁡ (n ) が正しいならば P ⁡(n +1) も正しいことが証明されたとする.このとき,次の問に理由をつけて答えよ.
(1) P⁡ (1 ) が正しいとき, Q⁡ (10 ) は正しいといえるか.また P⁡ (10 ) はどうか.
(2) (1)の仮定に加えて,さらに Q⁡ (9 ) も正しいとき, P⁡ (n ) はどのような自然数に対して正しいといえるか.
1992-10081-0105
理系
【3】 平面上を運動する点 P の座標 ( x,y ) が,時刻 t の関数として x =et ⁢sin⁡t , y=e t⁢cos⁡ t で与えられている.
(1) 点 P の時刻 t における速度を v → とするとき,ベクトル v → と OP → のなす角を求めよ.ただし O は原点を表す.
(2) 点 P が描く曲線の時刻 t における接線の傾きを f ⁡(t ) とするとき,次の積分を求めよ.
∫ 0π4 f⁡ (t) ⁢dt
1992-10081-0106
【4】 数直線上の点 Q が最初に原点にあるとする.サイコロを 2 回投げ,点 Q の位置を数直線上を正の向きに第 1 投の目の数だけ進め,負の向きに第 2 投の目の数だけ進める試行を考える.このときの点 Q の位置を確率変数 X とする.
(1) X の確率分布を求めよ.
(2) X の期待値 E ⁡( X) と分散 V ⁡(X ) を求めよ.
(3) 上の試行を 6 回繰り返すとき点 Q が 29 にある確率,および 28 にある確率をそれぞれ求めよ.
1992-10081-0107
理学部,工学部
【5】 a ,b , c をそれぞれ 1 より大きな数とする.
(1) loga ⁢b⁡ a+log b⁢c ⁡b+ logc⁢ a⁡c >1 を示せ.
(2) loga ⁢b⁡ a+log b⁢c ⁡b+log c⁢a ⁡c<2 を示せ.
(3) loga ⁢b⁡ a+log b⁢c ⁡b+log c⁢a ⁡c= 32 となるための必要十分条件を求めよ.
1992-10081-0108
【6】 x についての 3 次方程式
2⁢x 3-3 ⁢( a+b) ⁢x2 +6⁢a ⁢b⁢x -2⁢a 2⁢b =0
が 3 つの相異なる実数解をもつとする.このとき点 ( a,b ) の存在する範囲を求め,それを図示せよ.
文系・理系の学部・学科別
文系 文学部・教育学部・法学部・経済学部
理系 理学部・工学部・歯学部・薬学部・農学部・医学部