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1992 東京大学 前期

文科

易□ 並□ 難□

【1】  x についての方程式

px 2+( p2- q) x-( 2p- q-1) =0

が解をもち,すべての解の実部が負となるような実数の組 ( p,q ) の範囲を p q 平面上に図示せよ.

(注) 複素数 a +bi a b は実数, i は虚数単位)に対し, a をこの複素数の実部という.

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文科

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【2】 甲,乙二人が出資して共同事業を行う.二人の出資合計を s とするとき,この事業による利潤 f (s )

f( s)= { 14 s (s -3) 2 0 s2 - 34 s+2 s>2

で与えられ,利潤は出資額に応じて甲,乙に比例配分されるものとする.

 甲の出資額 a が一定であるとして,乙の利潤配分額を最大にする s の値を求めよ.ただし 0 a2 とする.

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文科

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【3】  p1 =1 p 2=1 pn +2= pn+ pn+ 1 n1 によって定義される数列 { pn } をフィボナッチ数列といい,その一般項は

pn= 1 5 { ( 1 +5 2) n- ( 1-5 2 )n }

で与えられる.必要ならばこの事実を用いて,次の問いに答えよ.

 各桁の数字が 0 1 であるような自然数の列 X n n=1 2 を次の規則により定める.

(ⅰ)  X1 =1

(ⅱ)  Xn のある桁の数字 α 0 ならば α 1 で置き換え, α 1 ならば α ' 10' で置き換える. Xn の各桁ごとにこのような置き換えを行って得られる自然数を X n+1 とする.

 たとえば, X1 =1 X 2=10 X3 =101 X 4=10110 X5 =10110101 となる.

(1)  Xn の桁数 a n を求めよ.

(2)  Xn の中に ' 01' という数字の配列が現れる回数 b n を求めよ(たとえば, b1 =0 b 2=0 b3= 1 b4 =1 b 5=3 ).

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文科・理科共通

理科は【2】

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【4】  xy 平面において, x 座標, y 座標ともに整数であるような点を格子点と呼ぶ.格子点を頂点に持つ三角形 ABC を考える.

(1) 辺 AB AC それぞれの上に両端を除いて奇数個の格子点があるとすると,辺 BC 上にも両端を除いて奇数個の格子点があることを示せ.

(2) 辺 AB AC 上に両端を除いて丁度 3 点ずつ格子点が存在するとすると,三角形 ABC の面積は 8 で割り切れる整数であることを示せ.

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理科

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【1】  a 1 より大きい定数とし, xy 平面上の点 ( a,0 ) A ( a,log a) B 曲線 y =log x x 軸の交点を C とする.さらに x 軸,線分 BA および曲線 y =log x で囲まれた部分の面積を S 1 とする.

(1)  1b a となる b に対し点 ( b,log b) D とする.四辺形 ABDC の面積が S 1 にもっとも近くなるような b の値と,そのときの四辺形 ABDC の面積 S 2 を求めよ.

(2)  a のときの S2 S1 の極限値を求めよ.

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理科

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【3】  a b を正の実数とする.座標空間の 4 P ( 0,0, 0) Q ( a,0, 0) R ( 0,1, 0) S ( 0,1, b) が半径 1 の同一球面上にあるとき, P Q R S を頂点とする四面体に内接する球の半径を r とすれば,次の二つの不等式が成り立つことを示せ.

( 1r- 1a - 1b )2 20 3 1r 2 23+ 2 53

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理科

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【4】  xyz 空間において, x 軸と平行な柱面

A={ (x, y,z) | x2+ z2= 1 x y z は実数}

から, y 軸と平行な柱面

B={ (x, y,z ) |x 2-3 x z+z2 = 14 x y z は実数}

により囲まれる部分を切り抜いた残りの図形を C とする.図形 C の展開図をえがけ.ただし点 ( 0,1, 0) を通り x 軸と平行な直線に沿って C を切り開くものとする.

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理科

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【5】  xy 平面において,曲線 y = x36 + 12 x 上の点 (1 , 23 ) を出発し,この曲線上を進む点 P がある.出発してから t 秒後の P の速度 v の大きさは t2 に等しく, v x 成分はつねに正または 0 であるとする.

(1) 出発してから t 秒後の P の位置を ( x,y ) として, x t の間の関係式を求めよ.

(2)  v がベクトル ( 8,15 ) と平行になるのは出発してから何秒後か.

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理科

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【6】  A B の二人がじゃんけんをして,グーで勝てば 3 歩,チョキで勝てば 5 歩,パーで勝てば 6 歩進む遊びをしている. 1 回のじゃんけんで A の進む歩数から B の進む歩数を引いた期待値を E とする.

(1)  B がグー,チョキ,パーを出す確率がすべて等しいとする. A がどのような確率で,グー,チョキ,パーを出すとき, E の値は最大となるか.

(2)  B がグー,チョキ,パーを出す確率の比が a :b:c であるとする. A がどのような確率でグー,チョキ,パーを出すならば,任意の a b c に対し E 0 となるか.

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