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1992 東京大学 前期
文科
【1】 x についての方程式
p⁢x 2+( p2- q)⁢ x-( 2⁢p- q-1) =0
が解をもち,すべての解の実部が負となるような実数の組 ( p,q ) の範囲を p q 平面上に図示せよ.
(注) 複素数 a +b⁢i ( a , b は実数, i は虚数単位)に対し, a をこの複素数の実部という.
【2】 甲,乙二人が出資して共同事業を行う.二人の出資合計を s とするとき,この事業による利潤 f ⁡(s ) は
f⁡( s)= { 14⁢ s⁢ (s -3) 2( 0≦ s≦2 )- 34 ⁢ s+2 ( s>2 )
で与えられ,利潤は出資額に応じて甲,乙に比例配分されるものとする.
甲の出資額 a が一定であるとして,乙の利潤配分額を最大にする s の値を求めよ.ただし 0 ≦a≦2 とする.
【3】 p1 =1 ,p 2=1 , pn +2= pn+ pn+ 1 ( n≧1 ) によって定義される数列 { pn } をフィボナッチ数列といい,その一般項は
pn= 1 5 ⁢{ ( 1 +5 2) n- ( 1-5 2 )n }
で与えられる.必要ならばこの事実を用いて,次の問いに答えよ.
各桁の数字が 0 か 1 であるような自然数の列 X n ( n=1 , 2 ,⋯ ) を次の規則により定める.
(ⅰ) X1 =1
(ⅱ) Xn のある桁の数字 α が 0 ならば α を 1 で置き換え, α が 1 ならば α を ' 10' で置き換える. Xn の各桁ごとにこのような置き換えを行って得られる自然数を X n+1 とする.
たとえば, X1 =1 ,X 2=10 , X3 =101 ,X 4=10110 , X5 =10110101 ,⋯ となる.
(1) Xn の桁数 a n を求めよ.
(2) Xn の中に ' 01' という数字の配列が現れる回数 b n を求めよ(たとえば, b1 =0 ,b 2=0 , b3= 1, b4 =1 ,b 5=3 , ⋯ ).
文科・理科共通
理科は【2】
【4】 xy 平面において, x 座標, y 座標ともに整数であるような点を格子点と呼ぶ.格子点を頂点に持つ三角形 ABC を考える.
(1) 辺 AB , AC それぞれの上に両端を除いて奇数個の格子点があるとすると,辺 BC 上にも両端を除いて奇数個の格子点があることを示せ.
(2) 辺 AB , AC 上に両端を除いて丁度 3 点ずつ格子点が存在するとすると,三角形 ABC の面積は 8 で割り切れる整数であることを示せ.
理科
【1】 a は 1 より大きい定数とし, xy 平面上の点 ( a,0 ) を A , 点 ( a,log⁡ a) を B , 曲線 y =log⁡ x と x 軸の交点を C とする.さらに x 軸,線分 BA および曲線 y =log⁡ x で囲まれた部分の面積を S 1 とする.
(1) 1≦b ≦a となる b に対し点 ( b,log⁡ b) を D とする.四辺形 ABDC の面積が S 1 にもっとも近くなるような b の値と,そのときの四辺形 ABDC の面積 S 2 を求めよ.
(2) a→ ∞ のときの S2 S1 の極限値を求めよ.
【3】 a ,b を正の実数とする.座標空間の 4 点 P ( 0,0, 0) ,Q ( a,0, 0) ,R ( 0,1, 0) ,S ( 0,1, b) が半径 1 の同一球面上にあるとき, P , Q , R , S を頂点とする四面体に内接する球の半径を r とすれば,次の二つの不等式が成り立つことを示せ.
( 1r- 1a - 1b )2≧ 20 3 , 1r≧ 2⁢ 23+ 2⁢ 53
【4】 xyz 空間において, x 軸と平行な柱面
A={ (x, y,z) | x2+ z2= 1 ,x ,y ,z は実数}
から, y 軸と平行な柱面
B={ (x, y,z ) |x 2-3 ⁢x⁢ z+z2 = 14 , x ,y ,z は実数}
により囲まれる部分を切り抜いた残りの図形を C とする.図形 C の展開図をえがけ.ただし点 ( 0,1, 0) を通り x 軸と平行な直線に沿って C を切り開くものとする.
【5】 xy 平面において,曲線 y = x36 + 12⁢ x 上の点 (1 , 23 ) を出発し,この曲線上を進む点 P がある.出発してから t 秒後の P の速度 v → の大きさは t2 に等しく, v→ の x 成分はつねに正または 0 であるとする.
(1) 出発してから t 秒後の P の位置を ( x,y ) として, x と t の間の関係式を求めよ.
(2) v→ がベクトル ( 8,15 ) と平行になるのは出発してから何秒後か.
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【6】 A , B の二人がじゃんけんをして,グーで勝てば 3 歩,チョキで勝てば 5 歩,パーで勝てば 6 歩進む遊びをしている. 1 回のじゃんけんで A の進む歩数から B の進む歩数を引いた期待値を E とする.
(1) B がグー,チョキ,パーを出す確率がすべて等しいとする. A がどのような確率で,グー,チョキ,パーを出すとき, E の値は最大となるか.
(2) B がグー,チョキ,パーを出す確率の比が a :b:c であるとする. A がどのような確率でグー,チョキ,パーを出すならば,任意の a , b ,c に対し E ≧0 となるか.