1992　東京大学　後期MathJax

【１】　定数$a$に対して，曲線$y=\sqrt{x^2-1}+{\displaystyle \frac{a}{x}}$の$x\geqq 1$の部分を$C(a)$とおく．

(1)　$C(a)$が直線$y=x$の下部$y<x$に含まれるような実数$a$の最大値$a_0$を求めよ．

(2)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$C(a_0)$と$3$直線$y=x\text{，}x=1\text{，}x={\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}$によって囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転させてできる立体$V$の体積$V(\theta )$を求めよ．

(3)　$\underset{\theta \to \frac{\pi }{2}-0}{\lim }V(\theta )$を求めよ．

【２】(1)　空間内の直線$L$を共通の境界線とし，角$\theta$で交わる$2$つの半平面$H_1\text{，}{H}_2$がある．$H_1$上に点$\mathrm{A}\text{，}L$上に点$\mathrm{B}\text{，}{H}_2$上に点$\mathrm{C}$がそれぞれ固定されている．ただし，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$は$L$上にはないものとする．半平面$H_1$を，$L$を軸として，$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で回転させる．このとき，$\theta$が増加すると$\angle \mathrm{ABC}$も増加することを証明せよ．

(2)　空間内の相異なる$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$について，不等式

$\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BCD}+\angle \mathrm{CDA}+\angle \mathrm{DAB}\leqq 2\pi$

が成り立つことを証明せよ．

　ただし，角の単位はラジアンを用いる．

【３】　多項式の列

$P_0(x)=0\text{，}{P}_1(x)=1\text{，}{P}_2(x)=1+x\text{，}\cdots \text{，}{P}_n(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{x}^k\text{，}\cdots$

を考える．

(1)　正の整数$n\text{，}m$に対して，$P_n(x)$を$P_m(x)$で割った余りは$P_0(x)\text{，}{P}_1(x)\text{，}\cdots \text{，}{P}_{m-1}(x)$のいずれかであることを証明せよ．

(2)　等式

$P_l(x)P_m(x^2)P_n(x^4)=P_{100}(x)$

が成立するような正の整数の組$(l,m,n)$をすべて求めよ．