1992　一橋大学　前期MathJax

【１】　$n$を正の整数とする．

(1)　$n^2$と$2n+1$は互いに素であることを示せ．

(2)　$n^2+2$が$2n+1$の倍数になる$n$を求めよ．

【２】　等差数列$1\text{，}3\text{，}5\text{，}7\text{，}\cdots$を次の(1)または(2)の規則にしたがってそれぞれ初項から順にグループ分けする．それぞれのグループ分けについて，$k$番目のグループに含まれる項の和を求めよ．

(1)　$k$番目のグループに$2k$個の項を含める．

(2)　$k$番目のグループの最初の項が$n$のとき，$k$番目のグループに$n$個の項を含める．

【３】　曲線$y=a{x}^3-ax\text{（}a\ne 0\text{）}$上に異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$があり，$\mathrm{P}$における接線と$\mathrm{Q}$における接線がともに直線$\mathrm{PQ}$と直交している．このような$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が存在するための$a$の範囲を求めよ．

【４】(1)　$a$を定数とする．${(x-1)}^2+y^2=1$のとき$x+ay$の最大値，最小値を求めよ．

(2)　行列$\left(\begin{array}{cc}1& a\\ b& c\end{array}\right)$で表される$1$次変換は，円${(x-1)}^2+y^2=1$を線分$\mathrm{AB}$にうつす．ここで，$\mathrm{A}(3,6)$である．$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．また$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

【５】　$xyz$空間内に$2$つの球$S\text{，}{S}^{\prime }$と平面

$\alpha \text{：}-x-y+cz=0\text{（}c>0\text{）}$

があって，次の条件(ア)〜(エ)が成り立っている．

(ア)　$S$も$S^{\prime }$も$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}-x-y+cz\geqq 0$の範囲に含まれる．

(イ)　$S$も$S^{\prime }$も，平面$x=0\text{，}$平面$y=0\text{，}$平面$\alpha$の$3$つの平面すべてに接している．

(ウ)　$S$と$S^{\prime }$とは接している．

(エ)　$S^{\prime }$の半径は$S$の半径の$2$倍である．

　このとき$c$を求めよ．