1992　広島大学　前期MathJax

【１】

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=ax\\ y^{\prime }=bx+cy\end{array}\text{（}ac\ne 0\text{）}$

で定まる$1$次変換を$f$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f$により放物線$y=x^2$は，原点を通る放物線に移されることを示せ．

(2)　$2$次方程式$p{x}^2+qx+r=0\text{（}p\ne 0\text{）}$は実数解をもたないとする．このとき，$f$により放物線$y=x^2+1$が放物線$y=p{x}^2+qx+r$に移されるような，$a\text{，}b\text{，}c$が存在することを示せ．

【２】　図のような立方体の対角線$\mathrm{RT}$の中点を$\mathrm{G}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{r}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\overrightarrow{s}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{GU}}$を$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{r}$および$\overrightarrow{s}$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{GU}}$は平面$\mathrm{QTV}$に垂直であることを証明せよ．

【３】

$x_1=1\text{，}$$y_1=2\text{，}$$x_{n+1}=x_n+2y_n\text{，}$$y_{n+1}=2x_n+4y_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列$\{x_n\}$および$\{y_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　$\alpha =\sin 10\mathrm{°}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$は$3$次方程式$8x^3-6x+1=0$の解となることを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{6}}<\alpha <{\displaystyle \frac{1}{5}}$が成り立つことを示せ．

【５】　$y^2=2x$と$y=|x-a|\text{（}a>0\text{）}$との交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と$y^2=2x$とで囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=ax\\ y^{\prime }=bx+cy\end{array}\text{（}ac\ne 0\text{）}$

で定まる$1$次変換を$f$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f$により放物線$y=x^2+1$は，原点を通らない放物線に移されることを示せ．

(2)　$2$次方程式$p{x}^2+qx+r=0\text{（}p\ne 0\text{）}$は，正および負の実数解を$1$つずつもつとする．このとき，$f$により放物線$y=x^2+1$が放物線$y=p{x}^2+qx+r$に移されるような$a\text{，}b\text{，}c$は存在しないことを示せ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{OC}\text{，}\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$を$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=1:1\text{，}\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}=2:1\text{，}\mathrm{OR}:\mathrm{RC}=1:2\text{，}\mathrm{AS}:\mathrm{SB}=1:4$になるようにとる．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，直線$\mathrm{PQ}$の方程式を媒介変数$t$と$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{PQ}$と直線$\mathrm{RS}$が交わることを示せ．

【３】　$a$を実数とし，

$x_1=2\text{，}{y}_1=2\text{，}\{\begin{array}{l}{x}_{n+1}=x_n+a{y}_n\\ y_{n+1}=2x_n+2a{y}_n-2\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列$\{x_n\}$および$\{y_n\}$に対して，次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{x_n\}$および$\{y_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{x_n\}$および$\{y_n\}$が収束するような$a$の範囲と，そのときの$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を求めよ．

【４】　$f(x)=e^x+e^{-x}-a{x}^2-2$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\leqq 1$のとき，すべての正の数$x$に対して$f(x)>0$であることを証明せよ．

(2)　$f(x)>0$がすべての正の数$x$に対して成り立つような定数$a$の最大値は$1$であることを証明せよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^k}{e}^{-t}(\cos t-\sin t)dt$を求めよ．

(2)　$xy$平面上の曲線

$x=e^{-t}\cos t\text{，}y=e^{-t}\sin t\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$

と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

【６】　$a$本の当たりくじと$b$本のはずれくじが入っている箱がある．ただし，$a\geqq 1\text{，}b\geqq 1$とする．この箱の中から，くじを$1$本ずつ無作為に引いていく試行を考える．はじめて当たりが出たとき，または$b$回続けてはずれが出たときには，この試行をやめる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　引いたくじはそのつどもとに戻すものとする．試行をやめるまでにくじを引く回数を$X$とする．自然数$k$に対し，確率変数$X$が$k$以下の値をとる確率$P(X\leqq k)$を求めよ．

(2)　引いたくじはもとに戻さないものとする．試行をやめるまでにくじを引く回数を$Y$とする．自然数$k$に対し，確率変数$Y$が$k$以下の値をとる確率$P(Y\leqq k)$を求めよ．

(3)　(1)および(2)の結果を用いて，すべての自然数$k$に対して$P(X\leqq k)\leqq P(Y\leqq k)$が成り立つことを証明せよ．