1992　九州大学　前期MathJax

【１】　平面上に四角形$\mathrm{ABCD}$と，この四角形の外部に点$\mathrm{E}$がある．これらの点から得られるベクトルについて，関係式

$2\overrightarrow{\mathrm{AE}}+3\overrightarrow{\mathrm{AD}}+2\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{0}\text{，}8\overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}=3(\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}})$

が成り立つとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EC}}\text{，}\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{ED}}$とおくとき，$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{d}$で表せ．

(2)　四角形$\mathrm{BCDE}$はどのような四角形か．

(3)　直線$\mathrm{EA}$と直線$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\mathrm{EA}$と$\mathrm{AF}$の長さの比を求めよ．

(4)　四角形$\mathrm{ABCD}$と四角形$\mathrm{BCDE}$の面積の比を求めよ．

【２】

$P_0(x)=1\text{，}{P}_1(x)=x\text{，}{P}_2(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(3x^2-1)$

とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{P}_m(x)P_n(x)dx\text{（}0\leqq m\leqq n\leqq 2\text{）}$の値を定めよ．

(2)　$a_0\text{，}{a}_1\text{，}{a}_2$を定数として，

$f(x)=a_0{P}_0(x)+a_1{P}_1(x)+a_2{P}_2(x)$

とおく．このとき，

$a_k={\displaystyle \frac{2k+1}{2}}{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)P_k(x)dx\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{）}$

が成り立つことを示せ．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとる．$\angle \mathrm{PCA}=x\text{，}s=1+\tan x$とおく．$\angle \mathrm{PCB}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}\angle \mathrm{ABC}=2x\text{，}\mathrm{BC}=1$のとき，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．$\mathrm{BH}$の長さ$y$を$s$で表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{\pi }{8}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$の範囲で，${\displaystyle \frac{1-y}{y}}$の最大値およびそのときの$x$の値を求めよ．

【４】　仲の良い$4$人の友達$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$がクリスマスパーティーでプレゼントを交換する．つまり，$4$人の持ち寄ったプレゼントを公平な抽選で分けるのである．これについて，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$君が自分自身の持ってきたプレゼントに当たる確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$君には$\mathrm{B}$君の持ってきたプレゼントが当り，残りの$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$のうちの誰かが自分自身の持ってきたプレゼントに当たる確率を求めよ．

(3)　自分自身の持ってきたプレゼントに誰も当たらない確率を求めよ．

【２】　$3$次曲線$C\text{：}y=x^3+9x^2+9x+2$上に点${\mathrm{P}}_0(x_0,y_0)$をとる．ただし，$x_0>0$とする．さらに自然数$n$に対して，$C$上の点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$を「${\mathrm{P}}_{n-1}$を通る直線が点${\mathrm{P}}_n\text{（}\ne {\mathrm{P}}_{n-1}\text{）}$で$C$と接する」ように定める．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$n>0$のとき，関係式$2x_n+x_{n-1}+9=0$が成り立つことを示せ．

(2)　$x_n$を$x_0$で表せ．

(3)　点${\mathrm{P}}_n$は$n$を大きくすると$C$上の定点に近づくことを示し，その定点を求めよ．

【３】　曲線$y=f(x)$上の任意の点$(a,f(a))$における法線は点$(0,cf(a))$を通るものとする．ただし，$c$は$c\ne 1$を満たす定数である．このとき，次の問に答えよ．

(1)　この曲線は微分方程式$(c-1)y{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=x$を満たすことを証明せよ．

(2)　(1)の微分方程式を満たす曲線が$(0,1)$を通るとき，その曲線の方程式を求め，その図をかけ．

(3)　$c<1$のとき，(2)で得た曲線を$x$軸のまわりに回転して得られる回転体の体積が$\pi$となるように$c$を定めよ．

【４】　 立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$の辺$\mathrm{AE}\text{，}\mathrm{CG}$の中点を，それぞれ，$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}$とする．点$\mathrm{X}$が辺$\mathrm{AB}$上を動くとき，$3$点$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{X}$を通る平面によるこの立方体の切り口を$K_{\mathrm{X}}$とし，この多角形$K_{\mathrm{X}}$の周の長さが最小となる点を${\mathrm{X}}_0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AX}=2t$として，$K_{\mathrm{X}}$の周の長さ$s(t)$を表す式を求めよ．

(2)　${\mathrm{X}}_0$は辺$\mathrm{AB}$の中点であることを示せ．

(3)　直線$\mathrm{DF}$は$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}{\mathrm{X}}_0$を通る平面に垂直であることを証明せよ．

(4)　$\angle \mathrm{L}{\mathrm{X}}_0\mathrm{M}$を求めよ．

【５】　$x$と書いた玉が$a$個，$y$と書いた玉が$b$個入っている袋がある．この中から$2$個取り出して$x$と$y$の個数を調べて元に戻す．ただし，$a\geqq 2\text{，}b\geqq 2$とする．このとき，$xy$平面上で点$\mathrm{P}$を

・$2$個とも$x$ならば$x$軸の正の方向に$2\text{，}$

・$x$が$1$個と$y$が$1$個ならば$x$軸，$y$軸の正の方向にそれぞれ$1\text{，}$

・$2$個とも$y$ならば$y$軸の正の方向に$2\text{，}$

だけ進ませる試行を考える．点$\mathrm{P}$が原点$(0,0)$から出発し，この試行を繰り返し行うとき，次の問に答えよ．

(1)　$1$回後に点$\mathrm{P}$が存在し得る点とその点に存在する確率をそれぞれ求めよ．

(2)　$2$回後に点$\mathrm{P}$が存在し得る点とその点に存在する確率をそれぞれ求めよ．

(3)　$a=b$のとき$2$回後に点$\mathrm{P}$が存在する確率が一番大きな点を求めよ．