1993　大学入試センター試験　本試験　数学IMathJax

【１】

〔１〕　$a\text{，}$$b\text{，}$$p\text{，}$$q$は実数で，$a>0$とする．$2$次方程式

$x^2+ax-2a-4=0$

の二つの解$\boxed{\text{ア}}$と$-a-\boxed{\text{イ}}$が$3$次方程式

$x^3+p{x}^2+qx-4a-8=0$

の解であるならば，この$3$次方程式のもう一つの解は$\boxed{\text{ウエ}}$であり，

$p=a+\boxed{\text{オ}}\text{，}$$q=\boxed{\text{カキ}}$

である．

　さらに，

$x^2+bx-a^2=0$

の二つの解が，上の$3$次方程式の解であるならば，

• $a=b$のとき$a=b=\boxed{\text{ク}}+\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$，
• $a\ne b$のとき$a=\boxed{\text{コ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{サ}}$

である．

【１】

〔２〕　赤，青，黄$3$組のカードがある．各組は$10$枚ずつで，それぞれ$1$から$10$までの各数が一つずつ書かれている．この$30$枚の中から$3$枚をとり出したとき，書かれている数を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．

　次の文中の$\boxed{\text{シ}}\text{〜}\boxed{\text{ス}}$にあてはまるものを，下の$\overline{)\text{1}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから選べ．

(1)　$a+b+c=3$ならば$\boxed{\text{シ}}$

(2)　$abc=75$ならば$\boxed{\text{ス}}$

(3)　$abc=105$ならば$\boxed{\text{セ}}$

(4)　$a^2+b^2+c^2>250$ならば$\boxed{\text{ソ}}$

• $\overline{)\text{1}}$　カードの色は$3$枚とも同じである．
• $\overline{)\text{2}}$　カードの色は$2$種類である．
• $\overline{)\text{3}}$　カードの色はすべて異なる．
• $\overline{)\text{4}}$　カードの色は$2$種類の場合と$3$種類の場合があり，$1$種類の場合はない．
• $\overline{)\text{5}}$　カードの色は$1$種類の場合と$2$種類の場合と$3$種類の場合がある．

【２】　$a$は$2<a<4$を満たす実数とする．放物線

$y=x^2-4x+5\cdots \text{①}$

の上の$3$点で，$x$座標が$2\text{，}$$a\text{，}$$4$であるものを，それぞれ$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．

　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線の方程式は

$y=(a-\boxed{\text{ア}})x-\boxed{\text{イ}}a+\boxed{\text{ウ}}\cdots \text{②}$

であり，$\mathrm{C}$を通り$\mathrm{AB}$に平行な直線の方程式は

$y=(a-\boxed{\text{エ}})x-\boxed{\text{オ}}a+\boxed{\text{カキ}}\cdots \text{③}$

である．

　$\mathrm{AB}$に平行で，放物線$\text{①}$とただ一つの共有点をもつ直線の方程式は

$y=(a-\boxed{\text{ク}})x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}{a}^2-a+\boxed{\text{サ}}\cdots \text{④}$

である．

　さらに，$3$直線$\text{③}\text{，}$$\text{②}\text{，}$$\text{④}$が等間隔に並ぶのは

$a=-\boxed{\text{シ}}+\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$

のときである．

【３】

〔１〕　座標平面上に点$\mathrm{A}(4,2)$をとる．原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}$を結ぶ線分の垂直二等分線を$l$とする．直線$l$上に点$\mathrm{P}$をとり，その$x$座標を$t$とすると，点$\mathrm{P}$の$y$座標は

$\boxed{\text{アイ}}t+\boxed{\text{ウ}}$

と表される．

　$\angle \mathrm{OPA}\geqq 60°$となるような$t$の範囲は

$\boxed{\text{エ}}-\sqrt{\boxed{\text{オ}}}\leqq t\leqq \boxed{\text{カ}}+\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$

である．

【３】

〔２〕　四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=1\text{，}$$\angle \mathrm{ABC}=45°\text{，}$$\angle \mathrm{ACB}=60°\text{，}$$\angle \mathrm{ BAD}=105°\text{，}$$\angle \mathrm{ADB}=45°$とする．このとき，対角線$\mathrm{AC}$の長さは

$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

である．また，$\angle \mathrm{ABD}=\boxed{\text{コサ}}°$であるから，

$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

であり，

$\mathrm{CD}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

である．