1993　大学入試センター試験　本試験　数学IIMathJax

【１】

〔１〕　座標平面上で$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(3,0)\text{，}$$\mathrm{P}(\sqrt{5}p,p)\text{，}$$\mathrm{Q}(\sqrt{5}q,-q)$を考える．ただし，$p>0\text{，}$$q>0$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とが直交するのは

$p={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

のときである．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$とが直交するのは

$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}q$

のときである．このとき，線分$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{A}$を通るならば

$q={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

であり，

$\mathrm{PA}:\mathrm{AQ}=\boxed{\text{キ}}:\boxed{\text{ク}}$

となる．

【１】

〔２〕　三角形$\mathrm{OAB}$で，辺$\mathrm{OA}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$\mathrm{OP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると，

• $\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$，
• $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$

である．

(2)　線分$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{BD}$上に点$\mathrm{F}$をとり，線分$\mathrm{EF}$が点$\mathrm{P}$を通るようにする．

$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\beta \overrightarrow{\mathrm{OD}}$

とすると，$\alpha \text{，}$$\beta$の間には

${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ソ}}}(\frac{\boxed{\text{タ}}}{\alpha }+\frac{\boxed{\text{チ}}}{\beta })}=1$

の関係が成り立つ．

【２】　曲線

$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-x^2+a\cdots \text{①}$

に二つの直線

• $x+y-3=0\cdots \text{②}$
• $8x-y-b=0(b>0)\cdots \text{③}$

が接しているとする．このとき，

(1)　$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ウエ}}$である．

(2)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{3}{x}^3-x^2+\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$は，$x=\boxed{\text{オ}}$で極大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$をとり，$x=\boxed{\text{ク}}$で極小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$をとる．

(3)　$\text{①}$と$\text{②}$の接点を$\mathrm{A}\text{，}$$\text{①}$と$\text{③}$の接点を$\mathrm{B}\text{，}$$\text{②}$と$\text{③}$の交点を$\mathrm{C}$とするとき，それらの点の座標は，

$\mathrm{A}(\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})\text{，}$$\mathrm{B}(\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{セ}})\text{，}$$\mathrm{C}(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}})$

である．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{チ}}$であり，曲線$\text{①}$と線分$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{BC}$で囲まれる部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

【３】　図のような格子状の道が与えられている．

(1)　点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{Q}$へ行く最短経路は全部で$\boxed{\text{アイ}}$通りである．このうち，$\mathrm{C}$を通る経路は$\boxed{\text{ウエ}}$通り，$\mathrm{D}$を通る経路は$\boxed{\text{オカ}}$通り，$\mathrm{C}$または$\mathrm{D}$を通る経路は$\boxed{\text{キク}}$通りである．

(2)　点$\mathrm{P}$から出発して分岐点（$\mathrm{P}$を含む）で$1$回硬貨を投げる．表が出れば右下の次の分岐点へ，裏ならば左下の次の分岐点へ進むものとする．

　$8$回硬貨を投げて進む場合を考える．

(a)　$\mathrm{C}$を通過する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

(b)　$\mathrm{D}$を通過する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シス}}}}$である．

(c)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のいずれをも通らないで$\mathrm{Q}$に到達する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソタチ}}}}$である．