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1993 北海道大学 前期

文系,理Ⅱ,Ⅲ,水産系

理Ⅱ,Ⅲ,水産系は【3】

易□ 並□ 難□

【1】 整数 n 0 に対し, b( n)= 2n an =2b (n )+ 1 とする.

(1) 数学的帰納法を用いて,

a0 a1 an= 2b (n+ 1) -1 n 1

を示せ.

(2)

an+ 1= a0 a1 an +2 n1

を示し, l>m 1 のとき, al a m 2 より大きい公約数を持たないことを示せ.

1993 北海道大学 前期

文系

易□ 並□ 難□

【2】 放物線 y =x2 -1 C 1 とし,円 x2+ ( y-1 )2 =1 C 2 とする.

(1)  C1 上に点 P ( t,t2 -1 ) をとる.点 Q C 2 上を動くとき,距離 PQ の最小値 l (t ) を求めよ.

(2)  P C 1 上を動くとき, l( t) の最小値とそのときの P の座標を求めよ.

1993 北海道大学 前期

文系

易□ 並□ 難□

【3】 平面上の 3 点を A ( 2,2 ) B (3 ,1) C ( -2,0 ) とする. 1 次変換 f は点 A を点 P ( 4,0 ) に移し, ABC x 軸で面積が二等分される正三角形に移す.このとき,次の問に答えよ.

(1) 線分 OA と辺 BC の交点を D とするとき,長さの比 OD :OA を求めよ.ただし, O は原点とする.

(2)  D f による像 S の座標を求めよ.

(3)  f を表す行列 X を求めよ.

1993 北海道大学 前期

文系

易□ 並□ 難□

【4】 中心 ( 0,1 ) 半径 1 の円を C 放物線 y =x2 C 1 とする.また,円 C 上に頂点 A をもつ放物線 y =- (x- p) 2+q C 2 とする.

(1)  C2 の頂点 A ( 0,0 ) 以外にあるとき, C1 C 2 は異なる 2 点で交わることを示せ.

(2)  C1 C 2 によって囲まれる図形の面積を S とする. C2 の頂点 A が円 C 上を動くとき, S の最大値と,そのときの A の座標を求めよ.

1993 北海道大学 前期

理Ⅰ系,医,歯

易□ 並□ 難□

【1】  a<0 c>0 として, 2 次関数 f (x )=a x2 +bx +c について,次の問に答えよ.

(1)  f( x+1) +f( x-1) -2f (x ) を計算せよ.

(2) ある数 p について,集合 { f( p-1) ,f( p), f( p+1) } が集合 { p-2, p,p+ 2} と一致しているとき, f( p)= p+2 を示し,このときの a の値を求めよ.

(3)  p が整数で(2)の条件を満たし,さらに f ( p+1 )=p f (p- 1)= p-2 となっているとき, b c および p の値を求めよ.

1993 北海道大学 前期

理Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ系,医,歯,水産

理Ⅱ,Ⅲ系,水産は【1】

易□ 並□ 難□

【2】 平面上の 3 点を A ( 2,2 ) B ( 3,1 ) C ( -2,0 ) とする. 1 次変換 f によって ABC が次の(ⅰ),(ⅱ)を満たす正三角形に移されている.

(ⅰ)  1 つの頂点は P ( 4,0 ) である.

(ⅱ)  x 軸によって面積が 2 等分されている.

 このとき,次の問に答えよ.

(1) 線分 OA と辺 BC の交点 D は, BC の中点であることを示せ.ただし, O は原点とする.

(2)  f A P に移すことを示し, D f による像 S の座標を求めよ.

(3)  f を表す行列 X を求めよ.

1993 北海道大学 前期

理Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ系,医,歯,水産

理Ⅱ,Ⅲ系,水産は【2】

易□ 並□ 難□

【3】  a>0 に対して, F( x)= 0x dt t2+a とし, I( x)= F( 3x) -F( x) とおく.

(1)  I( a3 ) を計算せよ.

(2)  I( x) x =2 で最大値をとるように a の値を定めよ.

1993 北海道大学 前期

理Ⅰ系,医,歯

易□ 並□ 難□

【4】 平面上を動く点 P の座標 ( x,y ) が時刻 t の関数として

x=a t y= 1+1 -at - t22

と表されている.ただし, 0<a <1 とする.

(1) ある時刻 t >0 で動点 P の軌跡は, x 軸と交わる.このときの P x 座標 u a で表せ.

(2)  a 0 <a< 1 の範囲を動くとき, u の最大値を求めよ.

(3)  u の最大値を与える a について,動点 P t =0 における速度ベクトルが x 軸の正の向きとなす角を求めよ.

1993 北海道大学 前期

理Ⅰ系,医,歯

易□ 並□ 難□

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11 12 13 14 15
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21 22 23 24 25

図1

【5】 袋の中に 1 から 25 までの自然数を 1 つずつ書いた 25 枚のカードが入っている.袋の中からカードを 1 枚取りだして板(図1)の対応する数字の上におくという操作を 3 回くり返し,板上に 3 枚のカードをおく,ただし, 1 度取りだしたカードはもとに戻さない.このとき,事象 K i i=1 2 25 A を次のように定める.

Ki :最初に取り出したカードに書かれた数が i である.

A:カードが 3 枚ともある 1 つの行または列の上にのっている.

(1) 事象 A Ki の起こる確率 P ( A Ki ) と事象 A の起こる確率 P ( A ) を求めよ.

(2)  A が起こったときは最初に取りだしたカードに書かれた数の 2 乗, A が起こらなかったときは最初に取りだしたカードに書かれた数を値にとる確率変数を X とする. X の期待値 E ( X) を求めよ.

1993 北海道大学 前期

理Ⅱ,Ⅲ,水産系

易□ 並□ 難□

【4】 関数

f ( x)= x4+ (1- t) x3- tx2

について,次の問に答えよ.ただし, t>0 とする.

(1) 方程式 f ( x)= 0 の解のうち, 0 でないものが 2 つある.その小さい方を α 大きい方を β とするとき, α β をそれぞれ t で表せ.

(2)  f( x) x =α x= β でそれぞれ極小となることを示せ.(ただし,極小値は求めなくてよい.)

(3)  limi α limt f( α) t を求めよ.

1993 北海道大学 前期

理Ⅱ,Ⅲ,水産系

易□ 並□ 難□

【5】  1 から n n 3 までの自然数を 1 つずつ書いた n 枚のカードがある.その中から,でたらめに 3 枚のカードを同時に取りだすとき,それら 3 枚のカードに書いてある数の中で 1 番小さい数を X1 2 番目に小さい数を X2 残りの数を X 3 とする.さらに, Y=X 3-X 1 とする.

(1)  n=5 のとき, X2 >Y となる確率を求めよ.

(2) 一般の n に対し, Y=k となる確率 P ( Y=k ) k=2 3 n-1 Y の期待値 E ( Y) を求めよ.ただし,必要なら k=1 nk 3= { n (n +1) 2} 2 を用いてよい.

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