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1993-10001-0101
1993 北海道大学 前期
文系,理Ⅱ,Ⅲ,水産系
理Ⅱ,Ⅲ,水産系は【3】
易□ 並□ 難□
【1】 整数 n ≧0 に対し, b⁡( n)= 2n , an =2b ⁡(n )+ 1 とする.
(1) 数学的帰納法を用いて,
a0 ⁢a1 ⁢⋯⁢ an= 2b⁡ (n+ 1) -1 ( n≧ 1 )
を示せ.
(2)
an+ 1= a0⁢ a1⁢ ⋯an +2 ( n≧1 )
を示し, l>m≧ 1 のとき, al と a m は 2 より大きい公約数を持たないことを示せ.
1993-10001-0102
文系
【2】 放物線 y =x2 -1 を C 1 とし,円 x2+ ( y-1 )2 =1 を C 2 とする.
(1) C1 上に点 P ( t,t2 -1 ) をとる.点 Q が C 2 上を動くとき,距離 PQ の最小値 l ⁡(t ) を求めよ.
(2) P が C 1 上を動くとき, l⁡( t) の最小値とそのときの P の座標を求めよ.
1993-10001-0103
【3】 平面上の 3 点を A ( 2,2 ), B (3 ,1) ,C ( -2,0 ) とする. 1 次変換 f は点 A を点 P ( 4,0 ) に移し, ▵ABC を x 軸で面積が二等分される正三角形に移す.このとき,次の問に答えよ.
(1) 線分 OA と辺 BC の交点を D とするとき,長さの比 OD :OA を求めよ.ただし, O は原点とする.
(2) D の f による像 S の座標を求めよ.
(3) f を表す行列 X を求めよ.
1993-10001-0104
【4】 中心 ( 0,1 ), 半径 1 の円を C , 放物線 y =x2 を C 1 とする.また,円 C 上に頂点 A をもつ放物線 y =- (x- p) 2+q を C 2 とする.
(1) C2 の頂点 A が ( 0,0 ) 以外にあるとき, C1 と C 2 は異なる 2 点で交わることを示せ.
(2) C1 と C 2 によって囲まれる図形の面積を S とする. C2 の頂点 A が円 C 上を動くとき, S の最大値と,そのときの A の座標を求めよ.
1993-10001-0105
理Ⅰ系,医,歯
【1】 a<0 , c>0 として, 2 次関数 f ⁡(x )=a ⁢x2 +b⁢x +c について,次の問に答えよ.
(1) f⁡( x+1) +f⁡( x-1) -2⁢f ⁡(x ) を計算せよ.
(2) ある数 p について,集合 { f⁡( p-1) ,f⁡( p), f⁡( p+1) } が集合 { p-2, p,p+ 2} と一致しているとき, f⁡( p)= p+2 を示し,このときの a の値を求めよ.
(3) p が整数で(2)の条件を満たし,さらに f ⁡( p+1 )=p , f⁡ (p- 1)= p-2 となっているとき, b ,c および p の値を求めよ.
1993-10001-0106
理Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ系,医,歯,水産
理Ⅱ,Ⅲ系,水産は【1】
【2】 平面上の 3 点を A ( 2,2 ), B ( 3,1 ), C ( -2,0 ) とする. 1 次変換 f によって ▵ABC が次の(ⅰ),(ⅱ)を満たす正三角形に移されている.
(ⅰ) 1 つの頂点は P ( 4,0 ) である.
(ⅱ) x 軸によって面積が 2 等分されている.
このとき,次の問に答えよ.
(1) 線分 OA と辺 BC の交点 D は, BC の中点であることを示せ.ただし, O は原点とする.
(2) f は A を P に移すことを示し, D の f による像 S の座標を求めよ.
1993-10001-0107
理Ⅱ,Ⅲ系,水産は【2】
【3】 a>0 に対して, F⁡( x)= ∫ 0x dt t2+a とし, I⁡( x)= F⁡( 3⁢x) -F⁡( x) とおく.
(1) I⁡( a3 ) を計算せよ.
(2) I⁡( x) が x =2 で最大値をとるように a の値を定めよ.
1993-10001-0108
【4】 平面上を動く点 P の座標 ( x,y ) が時刻 t の関数として
x=a ⁢t ,y= 1+1 -a⁢t - t22
と表されている.ただし, 0<a <1 とする.
(1) ある時刻 t >0 で動点 P の軌跡は, x 軸と交わる.このときの P の x 座標 u を a で表せ.
(2) a が 0 <a< 1 の範囲を動くとき, u の最大値を求めよ.
(3) u の最大値を与える a について,動点 P の t =0 における速度ベクトルが x 軸の正の向きとなす角を求めよ.
1993-10001-0109
図1
【5】 袋の中に 1 から 25 までの自然数を 1 つずつ書いた 25 枚のカードが入っている.袋の中からカードを 1 枚取りだして板(図1)の対応する数字の上におくという操作を 3 回くり返し,板上に 3 枚のカードをおく,ただし, 1 度取りだしたカードはもとに戻さない.このとき,事象 K i ( i=1 ,2 , ⋯ ,25 ) と A を次のように定める.
Ki :最初に取り出したカードに書かれた数が i である.
A:カードが 3 枚ともある 1 つの行または列の上にのっている.
(1) 事象 A∩ Ki の起こる確率 P ⁡( A∩ Ki ) と事象 A の起こる確率 P ⁡( A ) を求めよ.
(2) A が起こったときは最初に取りだしたカードに書かれた数の 2 乗, A が起こらなかったときは最初に取りだしたカードに書かれた数を値にとる確率変数を X とする. X の期待値 E ⁡( X) を求めよ.
1993-10001-0110
理Ⅱ,Ⅲ,水産系
【4】 関数
f ⁡( x)= x4+ (1- t)⁢ x3- t⁢x2
について,次の問に答えよ.ただし, t>0 とする.
(1) 方程式 f ′⁡( x)= 0 の解のうち, 0 でないものが 2 つある.その小さい方を α , 大きい方を β とするとき, α と β をそれぞれ t で表せ.
(2) f⁡( x) は x =α ,x= β でそれぞれ極小となることを示せ.(ただし,極小値は求めなくてよい.)
(3) limi →∞ α と limt→ ∞ f⁡( α) t を求めよ.
1993-10001-0111
【5】 1 から n ( n ≧3 ) までの自然数を 1 つずつ書いた n 枚のカードがある.その中から,でたらめに 3 枚のカードを同時に取りだすとき,それら 3 枚のカードに書いてある数の中で 1 番小さい数を X1 ,2 番目に小さい数を X2 , 残りの数を X 3 とする.さらに, Y=X 3-X 1 とする.
(1) n=5 のとき, X2 >Y となる確率を求めよ.
(2) 一般の n に対し, Y=k となる確率 P ⁡( Y=k ) ( k=2 , 3 ,⋯ , n-1 ) と Y の期待値 E ⁡( Y) を求めよ.ただし,必要なら ∑ k=1 nk 3= { n ⁢(n +1) 2} 2 を用いてよい.