1993　筑波大学　前期MathJax

【１】　空間内の互いに直交する長さ$1$のベクトルを$\overrightarrow{u}\text{，}\overrightarrow{v}$とし，点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{u}$を方向ベクトルとする直線を$l\text{，}$点$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{v}$を方向ベクトルとする直線を$m$とする．点$\mathrm{P}$は$l$上，点$\mathrm{Q}$は$m$上を動くとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離の最小値をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{u}\text{，}\overrightarrow{v}$を用いて表せ．

【２】　$n$を自然数とするとき，$\sin (2n-1)x$は$\sin x$の多項式で表され，$\cos (2n-1)x$は$\cos x$の多項式で表されることを証明せよ．

【３】　曲線$y=x^4-2x^2$の接線が，この曲線と接点以外に異なる$2$点で交わる条件を求めよ．またこのとき，接線から接点と$2$つの交点で切りとられる$2$つの線分の長さが等しくなるときの接点の座標を求めよ．

【４】　関数$f(x)$が区間$[a,b]\text{（}0\leqq a<b\text{）}$において連続で，$f(x)\geqq 0$のとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸，$2$直線$x=a\text{，}x=b$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$は

$V=2\pi {\displaystyle {\int }_a^b}xf(x)dx$

で与えられる．

(1)　この公式が成立することを$f(x)$が$1$次関数の場合について確かめよ．

(2)　$f(x)=x{e}^x\text{，}a=0\text{，}b=1$のときの$V$を求めよ．

【５】　乙のところにあるつぼ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は甲には見えない．$\mathrm{A}$には赤球$2$個，白球$8$個が，$\mathrm{B}$には赤球$7$個，白球$3$個が入っている．乙は甲にクイズを出し，甲の答が正しければつぼ$\mathrm{A}$から，誤りならつぼ$\mathrm{B}$から無作為に$1$球選び，甲に手渡す．甲が正答する確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$である．次の確率を求めよ．

(1)　甲が乙から白球を受けとる確率

(2)　甲が乙から白球を受けとったとき，甲の答が正答だった確率

志望別問題選択一覧

第一学群

　社会学類　【１】〜【３】必須

　自然学類　【１】〜【５】必須

第二学群

　人間学類　代数・幾何，基礎解析選択　【１】〜【３】必須

　人間学類　基礎解析，微分・積分選択　【２】〜【４】必須

　生物学類　【１】〜【５】必須

　農林類　【１】〜【４】から２問を選択解答

第三学群

　社会工学類　【１】，【３】〜【５】必須

　国際総合学類　【１】〜【３】必須

　情報学類，工学システム学類，基礎工学類　【１】〜【５】必須