1993　東京大学　前期MathJax

【１】　$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx$は極大値と極小値をもち，それらを区間$-1\leqq x\leqq 1$内でとるものとする．

　この条件をみたすような実数の組$(a,b)$の範囲を$ab$平面上に図示せよ．

【２】　整数からなる数列$\{a_n\}$を漸化式

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1\text{，}{a}_2=3\\ a_{n+2}=3a_{n+1}-7a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

で定める．

　$a_n$が偶数となる$n$を決定せよ．

【３】　$xyz$空間内の原点を中心とする半径$1$の球面

$S=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1\text{，}x\text{，}y\text{，}z\text{は実数}\}$

を考え，$S$上の定点$(0,0,1)$を$\mathrm{A}$とする．

　$\mathrm{A}$とことなる$S$上の点$\mathrm{P}(x,y,z)$に対し，直線$\mathrm{AP}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}(u,v,0)$とする．

　$k$を正の定数とし，点$\mathrm{P}$が

$x^2+y^2+z^2=1\text{，}x\geqq {\displaystyle \frac{1}{k}}\text{，}y\geqq {\displaystyle \frac{1}{k}}\text{，}z\geqq {\displaystyle \frac{1}{k}}$

をみたしながら動くとき，対応する点$\mathrm{Q}$の動く範囲を$uv$平面上に図示せよ．

【４】　$0\leqq t\leqq 2$の範囲にある$t$に対し，方程式

$x^4-2x^2-1+t=0$

の実数解のうち最大のものを$g_1(t)\text{，}$最小のものを$g_2(t)$とおく．

${\displaystyle {\int }_0^2}(g_1(t)-g_2(t))dt$

を求めよ．

【１】　すべての面が合同な四面体$\mathrm{ABCD}$がある．頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$はそれぞれ$x\text{，}y\text{，}z$軸上の正の部分にあり，辺の長さは

$\mathrm{AB}=2l-1\text{，}\mathrm{BC}=2l\text{，}\mathrm{CA}=2l+1\text{（}l>2\text{）}$

である．

　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を$V(l)$とするとき，次の極限値を求めよ．

$\underset{l\to 2}{\lim }{\displaystyle \frac{V(l)}{\sqrt{l-2}}}$

【２】　整数からなる数列$\{a_n\}$を漸化式

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1\text{，}{a}_2=3\\ a_{n+2}=3a_{n+1}-7a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

によって定める．

(1)　$a_n$が偶数となることと，$n$が$3$の倍数となることとは同値であることを示せ．

(2)　$a_n$が$10$の倍数となるための条件を(1)と同様の形式で求めよ．

【３】　$xy$平面内に次の二つの集合$l\text{，}m$を考える．

$l=\{(-5,y)|-5<y<5\}$

$m=\{(5,y)|-5<y<5\}$

　$l\text{，}m$上にない$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に対し，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を$l\text{，}m$と交わらない線分又は折れ線で結ぶときの経路の長さの最小値を$d(\mathrm{A},\mathrm{B})$で表す．$2$点$\mathrm{P}(-9,-3)\text{，}\mathrm{Q}(9,3)$に対し

$d(\mathrm{P},\mathrm{R})=d(\mathrm{Q},\mathrm{R})$

となる点$\mathrm{R}$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．

【４】　$n$を$2$以上の自然数とし

$f(x)=x^n+px+q\text{（}p\text{，}q\text{は実数）}$

の形の$n$次関数について積分

$I={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_{-1}^1}{f(x)}^{2}dx$

を考える．$I$を最小にするような$(p,q)$が唯一組存在することを示し，そのような$(p,q)$と$I$の最小値を求めよ．

【５】　$1$と$0$を$5$個ならべた列$10110$をある人が繰返し書き写すとする．ただしこの列を$S$で表し，これの第$1$回の写しを$S_1$で表すとき，第$2$回目に書き写すときは$S_1$を書き写す．$S_1$の写しを$S_2$とするとき，第$3$回目には$S_2$を書き写す．以下，同様に続ける．

　この人が$0$を$1$に写しまちがえる確率は$p\text{（}0<p<1\text{）}$であり，$1$を$0$に写しまちがえる確率は$q\text{（}0<q<1\text{）}$であるが，それ以外の写しまちがいはないものとする．第$n$回目の写し$S_n$が$S$に一致する確率を$C(n)$とするとき，極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }C(n)$

を求めよ．

【６】　時刻$t$における座標が

$x=2\cos t+\cos 2t\text{，}y=\sin 2t$

で表される$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の運動を考える．

(1)　$\mathrm{P}$の速さ,すなわち速度ベクトル$({\displaystyle \frac{dx}{dt}},{\displaystyle \frac{dy}{dt}})$の大きさ，の最大値と最小値を求めよ．

(2)　$t$が$0\leqq t<2\pi$の範囲を動く間に$\mathrm{P}$が$2$回以上通過する点が唯一つ存在することを示し，その点を通過する各々の時刻での速度ベクトルを求め図示せよ．