1993　東京大学　後期MathJax

【１】　$n$を$3$以上の自然数とする．$xy$平面上，原点を中心とし，点$(1,0)$をひとつの頂点にもつ正$n$角形を$P$とする．

(1)　$P$の像が$P$に完全に重なるような$1$次変換を表す行列をすべて求めよ．

(2)　(1)で求めた行列すべての和を求めよ．

【２】　$xy$平面において，直線$l$と点$\mathrm{A}$の距離を$d(l,\mathrm{A})$と書くことにする．さらに，相異なる$3$点$\mathrm{A}=(x_1,y_1)\text{，}\mathrm{B}=(x_2,y_2)\text{，}\mathrm{C}=(x_3,y_3)$が与えられたとき

$f(l)={d(l,\mathrm{A})}^2+{d(l,\mathrm{B})}^2+{d(l,\mathrm{C})}^2$

とおく．

(1)　ある与えられた直線に平行な直線のうち，$f(l)$を最小にする直線$l_0$は三角形$\mathrm{ABC}$の重心を通ることを示せ．

(2)　異なる$3$本の直線が$f(l)$を最小にするならば，三角形$\mathrm{ABC}$は正三角形であることを示せ．

【３】　放物線の一部$y=x^2\text{，}0\leqq x\leqq 2\text{，}$を$y$軸のまわりに回転してできる回転体型の容器に水を満たし，このなかに，半径$r$の鉛の球を，それが容器につかえて止まるまでゆっくり沈めた．ただし，鉛直線を$y$軸とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　もとの水面の高さから球の中心の高さを引いた差$s$を$r$の関数として表せ．

(2)　あふれ出す水の体積を最大にする$r$の値を求めよ．