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1993-10267-0101
1993 東京工業大学 前期
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 原点 ( 0,0 ) を通る 2 つの放物線と直線をそれぞれ
C1 :y= a⁢x 2+b ⁢x ( a≠0 ), C2 :y=p ⁢x2 +q⁢x ( p≠0 ), L: y=k⁢ x ( k≠b ,k≠ q )
とし, C1 と L で囲まれる部分の面積を S1 ,C2 と L で囲まれる部分の面積を S 2 とする.このとき, S1 と S 2 の比が k によらないための必要十分条件を求めよ.
1993-10267-0102
【2】 n を自然数とする.
(1) limx →0 sin⁡( 2⁢n+ 1)⁢ xsin⁡ x を求めよ.
(2) ∫ 0π2 sin ⁡(2 ⁢n+1 )⁢ xsin⁡ x⁢ dx = π2 を示せ.
1993-10267-0103
【3】 4 次曲線 C :y= x4- 2⁢a⁢ x2 ( a >0 ) 上の動点 P =(t ,t4 -2⁢a ⁢t2 ) が -a ≦t≦ a の範囲で動く. P での C の接線と C との交点を P ,Q =(α ,α4 -2⁢a⁢ α2 ), R= (β, β4- 2⁢a⁢ β2 ) とする.ただし, α≦β .
(1) α+β , α⁢ β を a と t で表せ.
(2) 3 点 P , Q ,R が接線上 Q , P ,R の順になるための条件を求めよ.
(3) 線分 QR ‾ の長さを L とする. L2 を a と t で表せ.
(4) a= 712 のとき, L の最大値を求めよ.
1993-10267-0104
【4】 n を自然数, P⁡( x) を n 次の多項式とする. P⁡( 0) ,P ⁡( 1) ,⋯ , P⁡ (n ) が整数ならば,すべての整数 k に対し, P⁡( k) は整数であることを証明せよ.
1993-10267-0105
【5】 サイコロを 4 回ふり,出る目の数を順に, x1 , x2 , x3 , x4 とするとき,点 P =( x1, x2) ,O =(0 ,0) ,Q =(x 3,- x4 ) のなす角 ∠POQ が鋭角になる確率を求めよ.