1993　一橋大学　前期MathJax

【１】　原点を中心とする半径$1$の円$O$の周上に定点$\mathrm{A}(1,0)$と動点$\mathrm{P}$をとる．

(1)　円$O$の周上の点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$で${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2+{\mathrm{PC}}^2$が$\mathrm{P}$の位置によらず一定であるようなものを求めよ．

(2)　点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が(1)の条件を満たすとき$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　平面上の各点を直線$y=ax$に関して対称な点にうつす$1$次変換を表す行列を$A$とし，直線$y=bx$に関して対称な点にうつす$1$次変換を表す行列を$B$とする．

(1)　$A$を求めよ．

(2)　$AB=-BA$のとき$b$を$a$で表せ．

【３】　$xy$平面上の原点と点$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},1)$を結ぶ線分を$y$軸のまわりに回転してできる形の容器がある．この容器に水をいっぱいに満たしたのち，半径$r$の鉄の球を沈める．ただし，${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq r\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$である．

(1)　あふれる水の体積$V$を$r$で表せ．

(2)　$V$の最大値を求めよ．

【４】　$xyz$空間内に正三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$から$xy$平面に下ろした垂線と$xy$平面との交点をそれぞれ${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$とすると，${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }=1\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }=\sqrt{6}\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }=3$である．正三角形$\mathrm{ABC}$の一辺の長さを求めよ．

【５】　$n$を正の整数とする．$1$以上$3n$以下の整数の中からたがいに異なる$2$つの数$a\text{，}b$を無作為に選ぶとき，$|a-b|<n$となる確率を求めよ．