1993　一橋大学　後期MathJax

【１】　$m\text{，}n$を正の整数とする．$x$についての$2$次方程式

$12x^2-mx+n=0$

の$2$つの実数解を小数第$2$位で四捨五入して$0.3$および$0.7$を得た．$m\text{，}n$を求めよ．

【２】　$xy$平面上の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$が原点$\mathrm{O}$を中心とする円に内接している．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．$2\times 2$行列$T$は$T\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}\text{，}T\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}$を満たしている．

(1)　ベクトル$T\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　行列$T^2+T$を求めよ．

【３】　$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$は$x=\alpha$で極大値をとり$x=\beta$で極小値をとる．$2$点$(\alpha ,f(\alpha )\text{，}(\beta ,f(\beta ))$は直線$y=-2x+7$上にあり，$2$点$(\alpha ,f(\beta ))\text{，}(\beta ,f(\alpha ))$は直線$y=2x-1$上にある．

(1)　$\alpha +\beta$を求めよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

【４】　正の整数$n$に対し，関数$f_n(x)$を

$f_n(x)=1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{x^n}{n}}$

と定める．

(1)　$n\geqq 2$のとき$f_n(-1)>0$であることを示せ．

(2)　$n$が偶数ならば$f_n(-2)>0$であり，$n$が奇数ならば$f_n(-2)<0$であることを示せ．

(3)　方程式$f_n(x)=0$の実数解の個数を求めよ．

【５】　$xyz$空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(0,0,2)\text{，}\mathrm{B}(2,0,0)\text{，}\mathrm{C}(1,\sqrt{3},0)$がある．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上を動くとき，三角形$\mathrm{OPC}$の面積の最大値と最小値を求めよ．