1993　京都大学　前期MathJax

【１】　実数$a\text{，}b$に対し，関数$f(x)$を次のように与える．

$f(x)=\cos 2x+4a\cos x+b$

　すべての$x$に対して不等式$-6\leqq f(x)\leqq 6$が成立するような点$(a,b)$の範囲を図示せよ．

【２】　空間において，平面$\alpha$に含まれる凸四辺形$\mathrm{ABCD}$と$\alpha$に含まれない点$\mathrm{P}$を考える．$▵\mathrm{PAB}\text{，}▵\mathrm{PBC}\text{，}▵\mathrm{PCD}\text{，}▵\mathrm{PDA}$の重心をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$とする．また，線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{I}\text{，}\mathrm{J}\text{，}\mathrm{K}\text{，}\mathrm{L}$とする．

(1)　四辺形$\mathrm{EFGH}$と四辺形$\mathrm{IJKL}$はどちらも平行四辺形であることを示せ．さらに，これらは次の意味で相似である，すなわち正の定数$k$が存在して$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=k\overrightarrow{\mathrm{IJ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{FG}}=k\overrightarrow{\mathrm{JK}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{GH}}=k\overrightarrow{\mathrm{KL}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{HE}}=k\overrightarrow{\mathrm{LI}}$であることを示せ．

(2)　四辺形$\mathrm{ABCD}$と，平行四辺形$\mathrm{EFGH}$の面積の比を求めよ．

【３】　$f(x)$は$x$の整式，$c$は定数とする．等式

${\displaystyle {\int }_x^{x+1}}f(t)dt=cf(x)$

がすべての$x$で成り立つならば，$f(x)$は定数であることを示せ．

【４】　だ円$E\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$の部分集合$E_1\text{，}{E}_2$を次のように定める．

$E_1=\left\{\right(\begin{array}{c}x\\ y\end{array})\in E|x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\}\text{，}{E}_2=\left\{\right(\begin{array}{c}x\\ y\end{array})\in E|x\leqq 0\text{，}y\leqq 0\}$

　平面の$1$次変換で$E_1$を$E_2$に移すものをすべて求めよ．

【５】　$n$を自然数とする．さいころを$2n$回投げて$n$回以上偶数の目が出る確率を$p_n$とするとき，$p_n\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4n}}$であることを示せ．

【１】　$p>0$とする．双曲線$x^2-y^2=1$に点$\mathrm{P}(0,p)$から$2$本の接線を引いて，それぞれの接点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とするとき，$▵\mathrm{PAB}$の面積を最小にするような$p$の値を求めよ．

【２】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$に含まれる$2$つの円$C_1\text{，}{C}_2$を考える．ただし$C_1\text{，}{C}_2$の中心は$C$の直径$\mathrm{AB}$上にあり，$C_1$は点$\mathrm{A}$で，また$C_2$は点$\mathrm{B}$でそれぞれ$C$と接している．また$C_1\text{，}{C}_2$の半径をそれぞれ$a\text{，}b$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$から$C_1\text{，}{C}_2$に$1$本ずつ接線を引き，それらの接点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．

(1)　$\angle \mathrm{POA}=\theta$とするとき，$\mathrm{PQ}$は$\theta$によってどのように表せるか．

(2)　$\mathrm{P}$を$C$上で動かしたときの$\mathrm{PQ}+\mathrm{PR}$の最大値を求めよ．

【４】　自然数$n$に対して

$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{(1+x)}^{-n-1}{e}^{x^2}dx\text{，}{b}_n={\displaystyle {\int }_0^1}{(1+x)}^{-n}x{e}^{x^2}dx$

とおく．

(1)　$b_n\leqq e\cdot {\displaystyle {\int }_0^1}{(1+x)}^{-n}dx$が成り立つことを示し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}_n$を求めよ．

【６】　$f\text{，}g$をそれぞれ行列$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$の表す$1$次変換とする．以下では一般に，$1$次変換$a\text{，}b$の合成$a\circ b$を簡単に$ba$と記す．$aa$を$a^2\text{，}aaa$を$a^3$と書く．

(1)　$f^2=g^2={(gf)}^3=i$を示せ．ただし，$i$は恒等変換，すなわち任意の点をそれ自身に移す変換である．

(2)　変換$f\text{，}gf\text{，}fgf\text{，}gfgf\text{，}fgfgf$は，変換$g\text{，}fg\text{，}gfg\text{，}fgfg\text{，}gfgfg$をある順序に並べ替えたものである．後者の$5$つの変換はそれぞれ前者の$5$つのどれと等しいか．

(3)　$3$点$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$を頂点とする三角形を$\Delta$とする．$\Delta$を$f\text{，}g$で繰り返し変換して得られるすべての三角形の和集合を図示せよ．