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1993 京都大学 後期

文系,理系共通

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】  f( x)= x3+ ax2 +bx +c が次の 3 条件を満たしているとする.

(1)  limn 1 f (x ) x2-x =1

(2) 曲線 y =f( x) x =0 における接線の傾きは負である.

(3)  4 ( 0,f (0 ) ) ( 1,f (1 )) を通る直線を l とする.曲線 y =f (x ) と直線 l で囲まれる図形のうち, 0x 1 の部分の面積は 34 である.

 このとき, a b c の値を求めよ.

1993 京都大学 後期

文系,理系共通

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】 実数 a に対して, f( x)= x3- 3a x とおく.

(1)  t を実数とする.方程式 f (x )=t が相異なる 3 個の実数解をもつために a t が満たすべき条件を求めよ.

(2)  g( x)= f( f( x) ) とおく.方程式 g (x )=0 が相異なる 9 個の実数解をもつような a の範囲を求めよ.

1993 京都大学 後期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】 数列 { an } を次のように定義する.

{ a1 =1 an+1 = 12 a n+ 1n+1 n=1 2

 このとき,各自然数 n に対して不等式

an 4 n

が成り立つことを証明せよ.

1993 京都大学 後期

文系,理系共通

配点30点

易□ 並□ 難□

【4】  n 4 以上の自然数とする. (1 +x+x 2+x 3+x 4) n を展開したときの x 4 の係数を求めよ.

1993 京都大学 後期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【5】 点 O を中心とする半径 1 の球面上に 3 A B C がある.線分 BC CA AB の中点をそれぞれ P Q R とする.線分 OP OQ OR のうち少なくとも 1 つは長さが 12 以上であることを証明せよ.

1993 京都大学 後期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【3】 原点 O を中心とする 1 つの円周上に相異なる 4 A0 B 0 C0 D 0 をとる. A 0 B0 C 0 D 0 の位置ベクトルをそれぞれ a b c d と書く.

(1)  B 0C 0D 0 C0 D0 A0 D 0A 0B 0 A0 B0 C0 の重心をそれぞれ A1 B 1 C 1 D 1 とする.このとき,この 4 点は同一円周上にあることを示し,その円の中心 P 1 の位置ベクトル O P1 a b c d で表せ.

(2)  4 A1 B 1 C1 D1 に対し上と同様に A2 B 2 C2 D 2 を定め, A 2 B2 C 2 D 2 を通る円の中心を P2 とする.以下,同様に P3 P 4 を定める. P nP n+1 a b c d で表せ.

(3)  limn | Pn Q |= 0 を満たす点 Q の位置ベクトルを a b c d で表せ.ただし, | Pn Q | は線分 Pn Q の長さである.

1993 京都大学 後期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【4】  a は正の定数とする.不等式 ax ax がすべての正の数 x に対して成り立つという.このとき a はどのようなものか.

1993 京都大学 後期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【5】  n3 とする. 1 2 n のうちから重複を許して 6 個の数字をえらびそれを並べた順列を考える.このような順列のうちで,どの数字もそれ以外の 5 つの数字のどれかに等しくなっているようなものの個数を求めよ.

1993 京都大学 後期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【6】  a1 a2 b1 b2 c1 c2 を実数とする.不等式

a1 x+b1 x+ c1 > a2 x+b2 x+ c2

x -c1 かつ x -c2 となるすべての実数 x に対して成立するための必要十分条件を求めよ.

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