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1993-10541-0201
1993 京都大学 後期
文系,理系共通
配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 f⁡( x)= x3+ a⁢x2 +b⁢x +c が次の 3 条件を満たしているとする.
(1) limn →1 f ⁡(x ) x2-x =1
(2) 曲線 y =f⁡( x) の x =0 における接線の傾きは負である.
(3) 4 点 ( 0,f⁡ (0 ) ) と ( 1,f⁡ (1 )) を通る直線を l とする.曲線 y =f⁡ (x ) と直線 l で囲まれる図形のうち, 0≦x ≦1 の部分の面積は 34 である.
このとき, a ,b , c の値を求めよ.
1993-10541-0202
【2】 実数 a に対して, f⁡( x)= x3- 3⁢a⁢ x とおく.
(1) t を実数とする.方程式 f ⁡(x )=t が相異なる 3 個の実数解をもつために a と t が満たすべき条件を求めよ.
(2) g⁡( x)= f⁡( f⁡( x) ) とおく.方程式 g ⁡(x )=0 が相異なる 9 個の実数解をもつような a の範囲を求めよ.
1993-10541-0203
文系
【3】 数列 { an } を次のように定義する.
{ a1 =1 , an+1 = 12⁢ a n+ 1n+1 ( n=1 ,2 ,⋯ )
このとき,各自然数 n に対して不等式
an≦ 4 n
が成り立つことを証明せよ.
1993-10541-0204
shaitan's blogさんの解答へ
【4】 n を 4 以上の自然数とする. (1 +x+x 2+x 3+x 4) n を展開したときの x 4 の係数を求めよ.
1993-10541-0205
【5】 点 O を中心とする半径 1 の球面上に 3 点 A ,B , C がある.線分 BC , CA , AB の中点をそれぞれ P , Q , R とする.線分 OP , OQ , OR のうち少なくとも 1 つは長さが 12 以上であることを証明せよ.
1993-10541-0206
理系
配点35点
【3】 原点 O を中心とする 1 つの円周上に相異なる 4 点 A0 , B 0 , C0 , D 0 をとる. A 0 , B0 , C 0 ,D 0 の位置ベクトルをそれぞれ a→ , b → , c → , d→ と書く.
(1) ▵B 0C 0D 0 ,▵ C0 D0 A0 , ▵D 0A 0B 0 , ▵ A0 B0 C0 の重心をそれぞれ A1 , B 1 , C 1 , D 1 とする.このとき,この 4 点は同一円周上にあることを示し,その円の中心 P 1 の位置ベクトル O P1 → を a→ , b→ , c→ , d→ で表せ.
(2) 4 点 A1 , B 1 , C1 , D1 に対し上と同様に A2 , B 2 , C2 , D 2 を定め, A 2 , B2 , C 2 , D 2 を通る円の中心を P2 とする.以下,同様に P3 , P 4 , ⋯ を定める. P nP n+1 → を a→ , b→ , c→ , d→ で表せ.
(3) limn →∞ | Pn Q |= 0 を満たす点 Q の位置ベクトルを a→ , b→ , c→ , d→ で表せ.ただし, | Pn Q | は線分 Pn Q の長さである.
1993-10541-0207
京大入試問題数学解答集さんの解答(PDF)へ
【4】 a は正の定数とする.不等式 ax≧ a⁢x がすべての正の数 x に対して成り立つという.このとき a はどのようなものか.
1993-10541-0208
数学入試問題さんの解答(PDF)へ
【5】 n≧3 とする. 1 ,2 , ⋯ ,n のうちから重複を許して 6 個の数字をえらびそれを並べた順列を考える.このような順列のうちで,どの数字もそれ以外の 5 つの数字のどれかに等しくなっているようなものの個数を求めよ.
1993-10541-0209
【6】 a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 を実数とする.不等式
a1⁢ x+b1 x+ c1 > a2⁢ x+b2 x+ c2
が x ≠-c1 かつ x ≠-c2 となるすべての実数 x に対して成立するための必要十分条件を求めよ.